Analysis Beispiele

$y = \sqrt{x}$ , $(9, 3)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 9$ und $y = 3$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Schritt 1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Schritt 1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Schritt 1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 1.8

Vereinfache.

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Schritt 1.8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.9

Bestimme die Ableitung bei $x = 9$ .

$\frac{1}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.10

Vereinfache.

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Schritt 1.10.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.10.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{1}{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.10.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 1.10.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.10.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 1.10.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 \cdot 3^{1}}$

Schritt 1.10.1.4

Berechne den Exponenten.

$\frac{1}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{6}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{1}{6}$ und einen gegebenen Punkt $(9, 3)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (3) = \frac{1}{6} \cdot (x - (9))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 3 = \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{1}{6} \cdot (x - 9)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 3 = \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 3 = \frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \cdot - 9$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $x$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 9$

Schritt 2.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 (2)} \cdot - 9$

Schritt 2.3.1.5.2

Faktorisiere $3$ aus $- 9$ heraus.

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

Schritt 2.3.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

Schritt 2.3.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{2} \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 3$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{- 3}{2}$

Schritt 2.3.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - 3 = \frac{x}{6} - \frac{3}{2}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + 3$

Schritt 2.3.2.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 2.3.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 3 + 3 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 3 + 6}{2}$

Schritt 2.3.2.5.2

Addiere $- 3$ und $6$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{3}{2}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{1}{6} x + \frac{3}{2}$

Schritt 3