Analysis Beispiele

$y = \frac{18}{x^{2} + 2}$ , $(1, 6)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 6$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1.1

Da $18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{18}{x^{2} + 2}$ nach $x$ gleich $18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 2}]$ .

$18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 2}]$

Schritt 1.1.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2} + 2}$ als ${(x^{2} + 2)}^{- 1}$ um.

$18 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{- 1}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2} + 2$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 2$ .

$18 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$18 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 2$ .

$18 (- {(x^{2} + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $18$ .

$- 18 ({(x^{2} + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- 18 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 18 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 1.3.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 18 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x + 0)$

Schritt 1.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$- 18 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x)$

Schritt 1.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 18$ .

$- 36 {(x^{2} + 2)}^{- 2} x$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 36 \frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{2}} x$

Schritt 1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.4.2.1

Kombiniere $- 36$ und $\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 36}{{(x^{2} + 2)}^{2}} x$

Schritt 1.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{36}{{(x^{2} + 2)}^{2}} x$

Schritt 1.4.2.3

Kombiniere $x$ und $\frac{36}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 36}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 1.4.2.4

Bringe $36$ auf die linke Seite von $x$ .

$- \frac{36 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 1.5

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$- \frac{36 (1)}{{({(1)}^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $36$ mit $1$ .

$- \frac{36}{{(1^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 1.6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.6.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{36}{{(1 + 2)}^{2}}$

Schritt 1.6.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{36}{3^{2}}$

Schritt 1.6.2.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{36}{9}$

Schritt 1.6.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.6.3.1

Dividiere $36$ durch $9$ .

$- 1 \cdot 4$

Schritt 1.6.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- 4$ und einen gegebenen Punkt $(1, 6)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (6) = - 4 \cdot (x - (1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 6 = - 4 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- 4 \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 6 = 0 + 0 - 4 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 6 = - 4 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 6 = - 4 x - 4 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y - 6 = - 4 x + 4$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 4 x + 4 + 6$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $4$ und $6$ .

$y = - 4 x + 10$

Schritt 3