Analysis Beispiele

$\tan (x y) = x - 1$ , $(1, 0)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 0$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\tan (x y)) = \frac{d}{d x} (x - 1)$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = x y$ .

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Schritt 1.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 1.2.1.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 1.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$\sec^{2} (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$\sec^{2} (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\sec^{2} (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\sec^{2} (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\sec^{2} (x y) (x y' + y)$

Schritt 1.2.6

Vereinfache.

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Schritt 1.2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec^{2} (x y) (x y') + \sec^{2} (x y) y$

Schritt 1.2.6.2

Stelle die Terme um.

$x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y)$

Schritt 1.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 1.3.4

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y) = 1$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.1.1

Stelle die Faktoren in $x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y)$ um.

$x y' \sec^{2} (x y) + y \sec^{2} (x y) = 1$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $y \sec^{2} (x y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' \sec^{2} (x y) = 1 - y \sec^{2} (x y)$

Schritt 1.5.3

Teile jeden Ausdruck in $x y' \sec^{2} (x y) = 1 - y \sec^{2} (x y)$ durch $x \sec^{2} (x y)$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x y' \sec^{2} (x y) = 1 - y \sec^{2} (x y)$ durch $x \sec^{2} (x y)$ .

$\frac{x y' \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y' \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' \sec^{2} (x y)}{\sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Schritt 1.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sec^{2} (x y)$ .

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Schritt 1.5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' \sec^{2} (x y)}{\sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Schritt 1.5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Schritt 1.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sec^{2} (x y)$ .

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Schritt 1.5.3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Schritt 1.5.3.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y}{x}$

Schritt 1.5.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} - \frac{y}{x}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} - \frac{y}{x}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 1$ und $y = 0$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$\frac{1}{(1) \sec^{2} ((1) \cdot y)} - \frac{y}{1}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $0$ .

$\frac{1}{(1) \sec^{2} ((1) \cdot (0))} - \frac{0}{1}$

Schritt 1.7.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 1.7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{1 \sec^{2} ((1) \cdot (0))} - \frac{0}{1}$

Schritt 1.7.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sec^{2} ((1) \cdot (0))} - \frac{0}{1}$

Schritt 1.7.3.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} ((1) \cdot (0))} - \frac{0}{1}$

Schritt 1.7.3.3

Schreibe $\frac{1^{2}}{\sec^{2} ((1) \cdot (0))}$ als ${(\frac{1}{\sec ((1) \cdot (0))})}^{2}$ um.

${(\frac{1}{\sec ((1) \cdot (0))})}^{2} - \frac{0}{1}$

Schritt 1.7.3.4

Schreibe $\sec ((1) \cdot (0))$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

${(\frac{1}{\frac{1}{\cos ((1) \cdot (0))}})}^{2} - \frac{0}{1}$

Schritt 1.7.3.5

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos ((1) \cdot (0))}$ zu dividieren.

${(1 \cos ((1) \cdot (0)))}^{2} - \frac{0}{1}$

Schritt 1.7.3.6

Vereinfache.

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Schritt 1.7.3.6.1

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

${(1 \cos (0))}^{2} - \frac{0}{1}$

Schritt 1.7.3.6.2

Mutltipliziere $\cos (0)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (0) - \frac{0}{1}$

Schritt 1.7.3.7

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$1^{2} - \frac{0}{1}$

Schritt 1.7.3.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - \frac{0}{1}$

Schritt 1.7.3.9

Dividiere $0$ durch $1$ .

$1 - 0$

Schritt 1.7.3.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$1 + 0$

Schritt 1.7.4

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $1$ und einen gegebenen Punkt $(1, 0)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (0) = 1 \cdot (x - (1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 0 = 1 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Addiere $y$ und $0$ .

$y = 1 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$y = x - 1$

Schritt 3