Analysis Beispiele

Bestimme die Tangente an dem Punkt tan(xy)=x-1 , (1,0)
,
Schritt 1
Finde die erste Ableitung und werte sie bei und aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.
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Schritt 1.1
Differenziere beide Seiten der Gleichung.
Schritt 1.2
Differenziere die linke Seite der Gleichung.
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Schritt 1.2.1
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
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Schritt 1.2.1.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 1.2.1.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 1.2.1.3
Ersetze alle durch .
Schritt 1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 1.2.3
Schreibe als um.
Schritt 1.2.4
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.2.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.6
Vereinfache.
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Schritt 1.2.6.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.2.6.2
Stelle die Terme um.
Schritt 1.3
Differenziere die rechte Seite der Gleichung.
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Schritt 1.3.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.3.3
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.3.4
Addiere und .
Schritt 1.4
Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.
Schritt 1.5
Löse nach auf.
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Schritt 1.5.1
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 1.5.1.1
Stelle die Faktoren in um.
Schritt 1.5.2
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.5.3
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 1.5.3.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 1.5.3.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 1.5.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.5.3.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.5.3.2.1.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.5.3.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.5.3.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.5.3.2.2.2
Dividiere durch .
Schritt 1.5.3.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.5.3.3.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.5.3.3.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.5.3.3.1.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.5.3.3.1.1.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.5.3.3.1.2
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.6
Ersetze durch .
Schritt 1.7
Berechne bei und .
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Schritt 1.7.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 1.7.2
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 1.7.3
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.7.3.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.7.3.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.7.3.1.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.7.3.2
Schreibe als um.
Schritt 1.7.3.3
Schreibe als um.
Schritt 1.7.3.4
Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um.
Schritt 1.7.3.5
Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch zu dividieren.
Schritt 1.7.3.6
Vereinfache.
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Schritt 1.7.3.6.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.7.3.6.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.7.3.7
Der genau Wert von ist .
Schritt 1.7.3.8
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 1.7.3.9
Dividiere durch .
Schritt 1.7.3.10
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.7.4
Addiere und .
Schritt 2
Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für lösen.
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Schritt 2.1
Benutze die Steigung und einen gegebenen Punkt , um und in der Punkt-Steigungs-Form zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung abgeleitet ist.
Schritt 2.2
Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.
Schritt 2.3
Löse nach auf.
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Schritt 2.3.1
Addiere und .
Schritt 2.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3