Analysis Beispiele

Bestimme die Tangente an dem Punkt y^4+x^3=y^2+10x , (0,1)
,
Schritt 1
Finde die erste Ableitung und werte sie bei und aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.
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Schritt 1.1
Differenziere beide Seiten der Gleichung.
Schritt 1.2
Differenziere die linke Seite der Gleichung.
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Schritt 1.2.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.2.2
Berechne .
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Schritt 1.2.2.1
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
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Schritt 1.2.2.1.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 1.2.2.1.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.2.2.1.3
Ersetze alle durch .
Schritt 1.2.2.2
Schreibe als um.
Schritt 1.2.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.
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Schritt 1.2.3.1
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.2.3.2
Stelle die Terme um.
Schritt 1.3
Differenziere die rechte Seite der Gleichung.
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Schritt 1.3.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.3.2
Berechne .
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Schritt 1.3.2.1
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
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Schritt 1.3.2.1.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 1.3.2.1.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.3.2.1.3
Ersetze alle durch .
Schritt 1.3.2.2
Schreibe als um.
Schritt 1.3.3
Berechne .
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Schritt 1.3.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.3.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.3.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4
Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.
Schritt 1.5
Löse nach auf.
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Schritt 1.5.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.5.2
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.5.3
Faktorisiere aus heraus.
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Schritt 1.5.3.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.5.3.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.5.3.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.5.4
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 1.5.4.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 1.5.4.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 1.5.4.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.5.4.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.5.4.2.1.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.5.4.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.5.4.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.5.4.2.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.5.4.2.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.5.4.2.3.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.5.4.2.3.2
Dividiere durch .
Schritt 1.5.4.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.5.4.3.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.5.4.3.1.1
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
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Schritt 1.5.4.3.1.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.5.4.3.1.1.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
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Schritt 1.5.4.3.1.1.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.5.4.3.1.1.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.5.4.3.1.1.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.5.4.3.1.2
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.6
Ersetze durch .
Schritt 1.7
Berechne bei und .
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Schritt 1.7.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 1.7.2
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 1.7.3
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.7.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.7.3.2
Vereinfache den Nenner.
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Schritt 1.7.3.2.1
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 1.7.3.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.7.3.2.3
Subtrahiere von .
Schritt 1.7.3.3
Dividiere durch .
Schritt 1.7.3.4
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 1.7.3.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.7.3.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.7.3.7
Vereinfache den Nenner.
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Schritt 1.7.3.7.1
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 1.7.3.7.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.7.3.7.3
Subtrahiere von .
Schritt 1.7.3.8
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.7.3.9
Dividiere durch .
Schritt 1.7.3.10
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.7.4
Addiere und .
Schritt 2
Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für lösen.
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Schritt 2.1
Benutze die Steigung und einen gegebenen Punkt , um und in der Punkt-Steigungs-Form zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung abgeleitet ist.
Schritt 2.2
Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.
Schritt 2.3
Löse nach auf.
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Schritt 2.3.1
Addiere und .
Schritt 2.3.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 3