Analysis Beispiele

Ermittle die Fläche zwischen den Kurven y=x^(12/11) , y=10x^(1/11)
,
Schritt 1
Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.
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Schritt 1.1
Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.
Schritt 1.2
Löse nach auf.
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Schritt 1.2.1
Eliminiere die gebrochenen Exponenten durch Multiplizieren beider Exponenten mit dem Hauptnenner.
Schritt 1.2.2
Multipliziere die Exponenten in .
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Schritt 1.2.2.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 1.2.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.2.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.2.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.2.3
Vereinfache .
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Schritt 1.2.3.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 1.2.3.2
Potenziere mit .
Schritt 1.2.3.3
Multipliziere die Exponenten in .
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Schritt 1.2.3.3.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 1.2.3.3.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.2.3.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.3.3.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.2.3.4
Vereinfache.
Schritt 1.2.4
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.2.5
Faktorisiere aus heraus.
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Schritt 1.2.5.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.5.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.5.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.6
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 1.2.7
Setze gleich .
Schritt 1.2.8
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 1.2.8.1
Setze gleich .
Schritt 1.2.8.2
Löse nach auf.
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Schritt 1.2.8.2.1
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.2.8.2.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Schritt 1.2.8.2.3
Vereinfache .
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Schritt 1.2.8.2.3.1
Schreibe als um.
Schritt 1.2.8.2.3.2
Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.
Schritt 1.2.9
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 1.3
Berechne bei .
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Schritt 1.3.1
Ersetze durch .
Schritt 1.3.2
Setze für in ein, löse dann nach auf.
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Schritt 1.3.2.1
Entferne die Klammern.
Schritt 1.3.2.2
Vereinfache .
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Schritt 1.3.2.2.1
Vereinfache den Ausdruck.
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Schritt 1.3.2.2.1.1
Schreibe als um.
Schritt 1.3.2.2.1.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 1.3.2.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.3.2.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.3.2.2.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.3.2.2.3
Berechne den Exponenten.
Schritt 1.3.2.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4
Berechne bei .
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Schritt 1.4.1
Ersetze durch .
Schritt 1.4.2
Setze für in ein, löse dann nach auf.
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Schritt 1.4.2.1
Entferne die Klammern.
Schritt 1.4.2.2
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
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Schritt 1.4.2.2.1
Mutltipliziere mit .
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Schritt 1.4.2.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 1.4.2.2.1.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.4.2.2.2
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.4.2.2.3
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.4.2.2.4
Addiere und .
Schritt 1.5
Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.
Schritt 2
Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.
Schritt 3
Integriere, um die Fläche zwischen und zu ermitteln.
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Schritt 3.1
Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.
Schritt 3.2
Multipliziere mit .
Schritt 3.3
Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.
Schritt 3.4
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 3.5
Gemäß der Potenzregel ist das Integral von nach gleich .
Schritt 3.6
Kombiniere und .
Schritt 3.7
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 3.8
Gemäß der Potenzregel ist das Integral von nach gleich .
Schritt 3.9
Vereinfache die Lösung.
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Schritt 3.9.1
Kombiniere und .
Schritt 3.9.2
Substituiere und vereinfache.
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Schritt 3.9.2.1
Berechne bei und .
Schritt 3.9.2.2
Berechne bei und .
Schritt 3.9.2.3
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.9.2.3.1
Schreibe als um.
Schritt 3.9.2.3.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 3.9.2.3.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 3.9.2.3.3.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.9.2.3.3.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.9.2.3.4
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 3.9.2.3.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.9.2.3.6
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
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Schritt 3.9.2.3.6.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.9.2.3.6.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
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Schritt 3.9.2.3.6.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.9.2.3.6.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.9.2.3.6.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.9.2.3.6.2.4
Dividiere durch .
Schritt 3.9.2.3.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.9.2.3.8
Addiere und .
Schritt 3.9.2.3.9
Kombiniere und .
Schritt 3.9.2.3.10
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.9.2.3.11
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.9.2.3.12
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
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Schritt 3.9.2.3.12.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.9.2.3.12.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.9.2.3.12.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.9.2.3.13
Schreibe als um.
Schritt 3.9.2.3.14
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 3.9.2.3.15
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.9.2.3.15.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.9.2.3.15.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.9.2.3.16
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 3.9.2.3.17
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.9.2.3.18
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.9.2.3.18.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.9.2.3.18.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.9.2.3.18.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.9.2.3.18.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.9.2.3.18.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.9.2.3.18.2.4
Dividiere durch .
Schritt 3.9.2.3.19
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.9.2.3.20
Addiere und .
Schritt 3.9.2.3.21
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 3.9.2.3.22
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 3.9.2.3.23
Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von multiplizierst.
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Schritt 3.9.2.3.23.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.9.2.3.23.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.9.2.3.23.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.9.2.3.23.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.9.2.3.24
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 3.9.2.3.25
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.9.2.3.26
Mutltipliziere mit .
Schritt 4