Analysis Beispiele

$y = x^{2}$ , $y = 2 x - x^{2}$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$x^{2} = 2 x - x^{2}$

Schritt 1.2

Löse $x^{2} = 2 x - x^{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$2 x - x^{2} = x^{2}$

Schritt 1.2.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x - x^{2} - x^{2} = 0$

Schritt 1.2.2.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$2 x - 2 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.3.1

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$2 u - 2 u^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.2

Faktorisiere $2 u$ aus $2 u - 2 u^{2}$ heraus.

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Schritt 1.2.3.2.1

Faktorisiere $2 u$ aus $2 u$ heraus.

$2 u (1) - 2 u^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.2.2

Faktorisiere $2 u$ aus $- 2 u^{2}$ heraus.

$2 u (1) + 2 u (- u) = 0$

Schritt 1.2.3.2.3

Faktorisiere $2 u$ aus $2 u (1) + 2 u (- u)$ heraus.

$2 u (1 - u) = 0$

Schritt 1.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$2 x (1 - x) = 0$

Schritt 1.2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0 + y = 2 x - x^{2}$

Schritt 1.2.5

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.6

Setze $1 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze $1 - x$ gleich $0$ .

$1 - x = 0$

Schritt 1.2.6.2

Löse $1 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 1$

Schritt 1.2.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.2.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.2.6.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.2.6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.6.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 x (1 - x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 1$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = 0$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$y = 2 (0) - {(0)}^{2}$

Schritt 1.3.2

Setze $0$ für $x$ in $y = 2 (0) - {(0)}^{2}$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 2 (0) - 0^{2}$

Schritt 1.3.2.2

Vereinfache $2 (0) - 0^{2}$ .

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Schritt 1.3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$y = 0 - 0^{2}$

Schritt 1.3.2.2.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 0$

Schritt 1.3.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$y = 0 + 0$

Schritt 1.3.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0$

Schritt 1.4

Berechne $y$ bei $x = 1$ .

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Schritt 1.4.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$y = 2 (1) - {(1)}^{2}$

Schritt 1.4.2

Setze $1$ für $x$ in $y = 2 (1) - {(1)}^{2}$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.4.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 2 (1) - 1^{2}$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache $2 (1) - 1^{2}$ .

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Schritt 1.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = 2 - 1^{2}$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = 2 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.4.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y = 2 - 1$

Schritt 1.4.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$y = 1$

Schritt 1.5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(0, 0)$

$(1, 1)$

$(0, 0)$

$(1, 1)$

Schritt 2

Stelle $2 x$ und $- x^{2}$ um.

$y = - x^{2} + 2 x$

Schritt 3

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{0}^{1} - x^{2} + 2 x d x - \int_{0}^{1} x^{2} d x$

Schritt 4

Integriere, um die Fläche zwischen $0$ und $1$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{0}^{1} - x^{2} + 2 x - (x^{2}) d x$

Schritt 4.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$\int_{0}^{1} - 2 x^{2} + 2 x d x$

Schritt 4.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 2 x d x$

Schritt 4.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$- 2 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} 2 x d x$

Schritt 4.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 2 x d x$

Schritt 4.6

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 2 x d x$

Schritt 4.7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 2 \int_{0}^{1} x d x$

Schritt 4.8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1})$

Schritt 4.9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.9.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Schritt 4.9.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.9.2.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $1$ und $0$ .

$- 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Schritt 4.9.2.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $1$ und $0$ .

$- 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.9.2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 2 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 4.9.2.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$- 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.9.2.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.3.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- 2 (\frac{1}{3} - 0) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- 2 (\frac{1}{3} + 0) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.5

Addiere $\frac{1}{3}$ und $0$ .

$- 2 (\frac{1}{3}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.6

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 2}{3} + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.9

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Schritt 4.9.2.3.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 4.9.2.3.10.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Schritt 4.9.2.3.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.9.2.3.10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 4.9.2.3.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 4.9.2.3.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Schritt 4.9.2.3.10.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2} - 0)$

Schritt 4.9.2.3.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2} + 0)$

Schritt 4.9.2.3.12

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2})$

Schritt 4.9.2.3.13

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{2}{2}$

Schritt 4.9.2.3.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.9.2.3.14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2}{3} + \frac{2}{2}$

Schritt 4.9.2.3.14.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2}{3} + 1$

Schritt 4.9.2.3.15

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{2}{3} + \frac{3}{3}$

Schritt 4.9.2.3.16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 + 3}{3}$

Schritt 4.9.2.3.17

Addiere $- 2$ und $3$ .

$\frac{1}{3}$

Schritt 5