Analysis Beispiele

Ermittle die Fläche zwischen den Kurven y=x^2 , y=2x-x^2
,
Schritt 1
Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.
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Schritt 1.1
Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.
Schritt 1.2
Löse nach auf.
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Schritt 1.2.1
Da auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.
Schritt 1.2.2
Bringe alle Terme, die enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.
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Schritt 1.2.2.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.2.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.2.3
Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.
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Schritt 1.2.3.1
Es sei . Ersetze für alle .
Schritt 1.2.3.2
Faktorisiere aus heraus.
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Schritt 1.2.3.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.3.2.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.3.2.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.3.3
Ersetze alle durch .
Schritt 1.2.4
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 1.2.5
Setze gleich .
Schritt 1.2.6
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 1.2.6.1
Setze gleich .
Schritt 1.2.6.2
Löse nach auf.
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Schritt 1.2.6.2.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.2.6.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 1.2.6.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 1.2.6.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 1.2.6.2.2.2.1
Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.
Schritt 1.2.6.2.2.2.2
Dividiere durch .
Schritt 1.2.6.2.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.2.6.2.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 1.2.7
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 1.3
Berechne bei .
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Schritt 1.3.1
Ersetze durch .
Schritt 1.3.2
Setze für in ein, löse dann nach auf.
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Schritt 1.3.2.1
Entferne die Klammern.
Schritt 1.3.2.2
Vereinfache .
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Schritt 1.3.2.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.3.2.2.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.2.2.1.2
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 1.3.2.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.2.2.2
Addiere und .
Schritt 1.4
Berechne bei .
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Schritt 1.4.1
Ersetze durch .
Schritt 1.4.2
Setze für in ein, löse dann nach auf.
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Schritt 1.4.2.1
Entferne die Klammern.
Schritt 1.4.2.2
Vereinfache .
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Schritt 1.4.2.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.4.2.2.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.2.2.1.2
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 1.4.2.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.2.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.5
Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.
Schritt 2
Stelle und um.
Schritt 3
Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.
Schritt 4
Integriere, um die Fläche zwischen und zu ermitteln.
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Schritt 4.1
Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.
Schritt 4.2
Subtrahiere von .
Schritt 4.3
Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.
Schritt 4.4
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 4.5
Gemäß der Potenzregel ist das Integral von nach gleich .
Schritt 4.6
Kombiniere und .
Schritt 4.7
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 4.8
Gemäß der Potenzregel ist das Integral von nach gleich .
Schritt 4.9
Vereinfache die Lösung.
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Schritt 4.9.1
Kombiniere und .
Schritt 4.9.2
Substituiere und vereinfache.
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Schritt 4.9.2.1
Berechne bei und .
Schritt 4.9.2.2
Berechne bei und .
Schritt 4.9.2.3
Vereinfache.
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Schritt 4.9.2.3.1
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 4.9.2.3.2
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 4.9.2.3.3
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
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Schritt 4.9.2.3.3.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.9.2.3.3.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
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Schritt 4.9.2.3.3.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.9.2.3.3.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.9.2.3.3.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.9.2.3.3.2.4
Dividiere durch .
Schritt 4.9.2.3.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.9.2.3.5
Addiere und .
Schritt 4.9.2.3.6
Kombiniere und .
Schritt 4.9.2.3.7
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 4.9.2.3.8
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 4.9.2.3.9
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 4.9.2.3.10
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
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Schritt 4.9.2.3.10.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.9.2.3.10.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.9.2.3.10.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.9.2.3.10.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.9.2.3.10.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.9.2.3.10.2.4
Dividiere durch .
Schritt 4.9.2.3.11
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.9.2.3.12
Addiere und .
Schritt 4.9.2.3.13
Kombiniere und .
Schritt 4.9.2.3.14
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.9.2.3.14.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.9.2.3.14.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.9.2.3.15
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.9.2.3.16
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.9.2.3.17
Addiere und .
Schritt 5