Analysis Beispiele

$y = \sin (x)$ , $y = \cos (x)$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$\sin (x) = \cos (x)$

Schritt 1.2

Löse $\sin (x) = \cos (x)$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 1.2.2

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\tan (x) = \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (x) = \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (x) = 1$

Schritt 1.2.4

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (1)$

Schritt 1.2.5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 1.2.6

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + \frac{π}{4}$

Schritt 1.2.7

Vereinfache $π + \frac{π}{4}$ .

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Schritt 1.2.7.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 1.2.7.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.2.7.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 1.2.7.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 1.2.7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.7.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 1.2.7.3.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 1.2.8

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 1.2.8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 1.2.8.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 1.2.8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 1.2.8.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 1.2.9

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = \frac{π}{4} + π n$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $\frac{π}{4} + π n$ .

$y = \cos (\frac{π}{4} + π n)$

Schritt 1.3.2

Entferne die Klammern.

$y = \cos (\frac{π}{4} + π n)$

Schritt 1.4

Berechne $y$ bei $x = \frac{5 π}{4} + π n$ .

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Schritt 1.4.1

Ersetze $x$ durch $\frac{5 π}{4} + π n$ .

$y = \cos (\frac{5 π}{4} + π n)$

Schritt 1.4.2

Entferne die Klammern.

$y = \cos (\frac{5 π}{4} + π n)$

Schritt 1.5

Liste alle Lösungen auf.

$y = \cos (\frac{π}{4} + π n), x = \frac{π}{4} + π n$

$y = \cos (\frac{5 π}{4} + π n), x = \frac{5 π}{4} + π n$

$y = \cos (\frac{π}{4} + π n), x = \frac{π}{4} + π n$

$y = \cos (\frac{5 π}{4} + π n), x = \frac{5 π}{4} + π n$

Schritt 2

Die Fläche zwischen den gegebenen Kurven ist unbegrenzt.

Unbegrenzte Fläche

Schritt 3