Analysis Beispiele

Ermittle die Fläche zwischen den Kurven y=2x , y=0 , x=3
, ,
Schritt 1
Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.
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Schritt 1.1
Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.
Schritt 1.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 1.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 1.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 1.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 1.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 1.3
Ersetze durch .
Schritt 1.4
Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.
Schritt 2
Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.
Schritt 3
Integriere, um die Fläche zwischen und zu ermitteln.
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Schritt 3.1
Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.
Schritt 3.2
Subtrahiere von .
Schritt 3.3
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 3.4
Gemäß der Potenzregel ist das Integral von nach gleich .
Schritt 3.5
Vereinfache die Lösung.
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Schritt 3.5.1
Kombiniere und .
Schritt 3.5.2
Substituiere und vereinfache.
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Schritt 3.5.2.1
Berechne bei und .
Schritt 3.5.2.2
Vereinfache.
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Schritt 3.5.2.2.1
Potenziere mit .
Schritt 3.5.2.2.2
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 3.5.2.2.3
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
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Schritt 3.5.2.2.3.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.5.2.2.3.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
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Schritt 3.5.2.2.3.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.5.2.2.3.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.5.2.2.3.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.5.2.2.3.2.4
Dividiere durch .
Schritt 3.5.2.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.5.2.2.5
Addiere und .
Schritt 3.5.2.2.6
Kombiniere und .
Schritt 3.5.2.2.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.5.2.2.8
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
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Schritt 3.5.2.2.8.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.5.2.2.8.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
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Schritt 3.5.2.2.8.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.5.2.2.8.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.5.2.2.8.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.5.2.2.8.2.4
Dividiere durch .
Schritt 4