Analysis Beispiele

$y = 2 x + 3$ , $y = x^{2}$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$2 x + 3 = x^{2}$

Schritt 1.2

Löse $2 x + 3 = x^{2}$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x + 3 - x^{2} = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $2 x + 3 - x^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1.1

Stelle den Ausdruck um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1.1.1

Bewege $3$ .

$2 x - x^{2} + 3 = 0$

Schritt 1.2.2.1.1.2

Stelle $2 x$ und $- x^{2}$ um.

$- x^{2} + 2 x + 3 = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) + 2 x + 3 = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $2 x$ heraus.

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 3 = 0$

Schritt 1.2.2.1.4

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Schritt 1.2.2.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (- 2 x)$ heraus.

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Schritt 1.2.2.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 3)$ heraus.

$- (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 3, 1 + y = x^{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Schritt 1.2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x - 3) (x + 1) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0 + y = x^{2}$

Schritt 1.2.4

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 1.2.4.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 1.2.5

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x - 3) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 1$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $3$ .

$y = {(3)}^{2}$

Schritt 1.3.2

Setze $3$ für $x$ in $y = {(3)}^{2}$ ein, löse dann nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 3^{2}$

Schritt 1.3.2.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$y = 9$

Schritt 1.4

Berechne $y$ bei $x = - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Ersetze $x$ durch $- 1$ .

$y = {(- 1)}^{2}$

Schritt 1.4.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y = 1$

Schritt 1.5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(3, 9)$

$(- 1, 1)$

$(3, 9)$

$(- 1, 1)$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{- 1}^{3} 2 x + 3 d x - \int_{- 1}^{3} x^{2} d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $- 1$ und $3$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{- 1}^{3} 2 x + 3 - (x^{2}) d x$

Schritt 3.2

Multipliziere $- 1$ mit $x^{2}$ .

$\int_{- 1}^{3} 2 x + 3 - x^{2} d x$

Schritt 3.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 1}^{3} 2 x d x + \int_{- 1}^{3} 3 d x + \int_{- 1}^{3} - x^{2} d x$

Schritt 3.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{- 1}^{3} x d x + \int_{- 1}^{3} 3 d x + \int_{- 1}^{3} - x^{2} d x$

Schritt 3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} 3 d x + \int_{- 1}^{3} - x^{2} d x$

Schritt 3.6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} 3 d x + \int_{- 1}^{3} - x^{2} d x$

Schritt 3.7

Wende die Konstantenregel an.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) + 3 x]_{- 1}^{3} + \int_{- 1}^{3} - x^{2} d x$

Schritt 3.8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) + 3 x]_{- 1}^{3} - \int_{- 1}^{3} x^{2} d x$

Schritt 3.9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) + 3 x]_{- 1}^{3} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{3})$

Schritt 3.10

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) + 3 x]_{- 1}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3})$

Schritt 3.10.2

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.2.1

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $3$ und $- 1$ .

$2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 x]_{- 1}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3})$

Schritt 3.10.2.2

Berechne $3 x$ bei $3$ und $- 1$ .

$2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 3 - 3 \cdot - 1 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3})$

Schritt 3.10.2.3

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $3$ und $- 1$ .

$2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 3 - 3 \cdot - 1 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 3.10.2.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.2.4.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$2 (\frac{9}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 3 - 3 \cdot - 1 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 3.10.2.4.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$2 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2}) + 3 \cdot 3 - 3 \cdot - 1 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 3.10.2.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \frac{9 - 1}{2} + 3 \cdot 3 - 3 \cdot - 1 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 3.10.2.4.4

Subtrahiere $1$ von $9$ .

$2 (\frac{8}{2}) + 3 \cdot 3 - 3 \cdot - 1 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 3.10.2.4.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.2.4.5.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$2 \frac{2 \cdot 4}{2} + 3 \cdot 3 - 3 \cdot - 1 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 3.10.2.4.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.2.4.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} + 3 \cdot 3 - 3 \cdot - 1 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 3.10.2.4.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} + 3 \cdot 3 - 3 \cdot - 1 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 3.10.2.4.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{4}{1}) + 3 \cdot 3 - 3 \cdot - 1 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 3.10.2.4.5.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$2 \cdot 4 + 3 \cdot 3 - 3 \cdot - 1 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 3.10.2.4.6

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 + 3 \cdot 3 - 3 \cdot - 1 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 3.10.2.4.7

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$8 + 9 - 3 \cdot - 1 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 3.10.2.4.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$8 + 9 + 3 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 3.10.2.4.9

Addiere $9$ und $3$ .

$8 + 12 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 3.10.2.4.10

Addiere $8$ und $12$ .

$20 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 3.10.2.4.11

Potenziere $3$ mit $3$ .

$20 - (\frac{27}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 3.10.2.4.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $27$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.2.4.12.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$20 - (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 3.10.2.4.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.2.4.12.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$20 - (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 3.10.2.4.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$20 - (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 3.10.2.4.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$20 - (\frac{9}{1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 3.10.2.4.12.2.4

Dividiere $9$ durch $1$ .

$20 - (9 - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 3.10.2.4.13

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$20 - (9 - \frac{- 1}{3})$

Schritt 3.10.2.4.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$20 - (9 - - \frac{1}{3})$

Schritt 3.10.2.4.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$20 - (9 + 1 (\frac{1}{3}))$

Schritt 3.10.2.4.16

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$20 - (9 + \frac{1}{3})$

Schritt 3.10.2.4.17

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$20 - (9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3})$

Schritt 3.10.2.4.18

Kombiniere $9$ und $\frac{3}{3}$ .

$20 - (\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3})$

Schritt 3.10.2.4.19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$20 - \frac{9 \cdot 3 + 1}{3}$

Schritt 3.10.2.4.20

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.2.4.20.1

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$20 - \frac{27 + 1}{3}$

Schritt 3.10.2.4.20.2

Addiere $27$ und $1$ .

$20 - \frac{28}{3}$

Schritt 3.10.2.4.21

Um $20$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$20 \cdot \frac{3}{3} - \frac{28}{3}$

Schritt 3.10.2.4.22

Kombiniere $20$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20 \cdot 3}{3} - \frac{28}{3}$

Schritt 3.10.2.4.23

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{20 \cdot 3 - 28}{3}$

Schritt 3.10.2.4.24

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.2.4.24.1

Mutltipliziere $20$ mit $3$ .

$\frac{60 - 28}{3}$

Schritt 3.10.2.4.24.2

Subtrahiere $28$ von $60$ .

$\frac{32}{3}$

Schritt 4