Analysis Beispiele

$lim_{x \to 2} \sqrt{\frac{2 x^{2} + 1}{3 x - 2}}$

Schritt 1

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt{lim_{x \to 2} \frac{2 x^{2} + 1}{3 x - 2}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 2} 2 x^{2} + 1}{lim_{x \to 2} 3 x - 2}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 2} 2 x^{2} + lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} 3 x - 2}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt{\frac{2 lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} 3 x - 2}}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} 3 x - 2}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 1}{lim_{x \to 2} 3 x - 2}}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 1}{lim_{x \to 2} 3 x - lim_{x \to 2} 2}}$

Schritt 8

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 1}{3 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 1}{3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}}$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2^{2} + 1}{3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}}$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2^{2} + 1}{3 \cdot 2 - 1 \cdot 2}}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Multipliziere $2$ mit $2^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{2}$ .

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Schritt 11.1.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{2^{1} \cdot 2^{2} + 1}{3 \cdot 2 - 1 \cdot 2}}$

Schritt 11.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt{\frac{2^{1 + 2} + 1}{3 \cdot 2 - 1 \cdot 2}}$

Schritt 11.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{2^{3} + 1}{3 \cdot 2 - 1 \cdot 2}}$

Schritt 11.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\sqrt{\frac{8 + 1}{3 \cdot 2 - 1 \cdot 2}}$

Schritt 11.3

Addiere $8$ und $1$ .

$\sqrt{\frac{9}{3 \cdot 2 - 1 \cdot 2}}$

Schritt 11.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{9}{6 - 1 \cdot 2}}$

Schritt 11.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{9}{6 - 2}}$

Schritt 11.6

Subtrahiere $2$ von $6$ .

$\sqrt{\frac{9}{4}}$

Schritt 11.7

Schreibe $\sqrt{\frac{9}{4}}$ als $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}$ um.

$\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}$

Schritt 11.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.8.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{4}}$

Schritt 11.8.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{3}{\sqrt{4}}$

Schritt 11.9

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.9.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{3}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 11.9.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{3}{2}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{3}{2}$

Dezimalform:

$1.5$