Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 1}{x^{4} - 1}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}{lim_{x \to 1} x^{4} - 1}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{4} - 1}$

Schritt 1.1.2.1.2

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{4} - 1}$

Schritt 1.1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{4} - 1}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1^{3} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{4} - 1}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{4} - 1}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x^{4} - 1}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{4} - 1}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{4} - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 1.1.3.1.2

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 1.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{1^{4} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 1}{x^{4} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]}$

Schritt 1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]}$

Schritt 1.3.5

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2}}{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 1.3.8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2}}{4 x^{3} + 0}$

Schritt 1.3.9

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2}}{4 x^{3}}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{3}$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} \cdot 3}{4 x^{3}}$

Schritt 1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (4 x)}$

Schritt 1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (4 x)}$

Schritt 1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 1} \frac{3}{4 x}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $\frac{3}{4}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3}{4} lim_{x \to 1} \frac{1}{x}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}$

Schritt 2.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{1}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{1}$

Schritt 4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{4} \cdot 1$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $1$ .

$\frac{3}{4}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{3}{4}$

Dezimalform:

$0.75$