Analysis Beispiele

$lim_{x \to 10} \frac{x - 10}{\sqrt{x} - \sqrt{20 - x}}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 10} x - 10}{lim_{x \to 10} \sqrt{x} - \sqrt{20 - x}}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $10$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 10} x - lim_{x \to 10} 10}{lim_{x \to 10} \sqrt{x} - \sqrt{20 - x}}$

Schritt 1.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $10$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $10$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 10} x - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 10} \sqrt{x} - \sqrt{20 - x}}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $10$ für $x$ .

$\frac{10 - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 10} \sqrt{x} - \sqrt{20 - x}}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$\frac{10 - 10}{lim_{x \to 10} \sqrt{x} - \sqrt{20 - x}}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $10$ von $10$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 10} \sqrt{x} - \sqrt{20 - x}}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $10$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 10} \sqrt{x} - lim_{x \to 10} \sqrt{20 - x}}$

Schritt 1.1.3.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 10} x} - lim_{x \to 10} \sqrt{20 - x}}$

Schritt 1.1.3.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 10} x} - \sqrt{lim_{x \to 10} 20 - x}}$

Schritt 1.1.3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $10$ annähert.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 10} x} - \sqrt{lim_{x \to 10} 20 - lim_{x \to 10} x}}$

Schritt 1.1.3.5

Berechne den Grenzwert von $20$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $10$ annähert.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 10} x} - \sqrt{20 - lim_{x \to 10} x}}$

Schritt 1.1.3.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $10$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $10$ für $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{10} - \sqrt{20 - lim_{x \to 10} x}}$

Schritt 1.1.3.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $10$ für $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{10} - \sqrt{20 - 10}}$

Schritt 1.1.3.7

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.7.1

Subtrahiere $10$ von $20$ .

$\frac{0}{\sqrt{10} - \sqrt{10}}$

Schritt 1.1.3.7.2

Subtrahiere $\sqrt{10}$ von $\sqrt{10}$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.7.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.8

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 10} \frac{x - 10}{\sqrt{x} - \sqrt{20 - x}} = lim_{x \to 10} \frac{\frac{d}{d x} [x - 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{20 - x}]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 10} \frac{\frac{d}{d x} [x - 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{20 - x}]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 10$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$lim_{x \to 10} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{20 - x}]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{20 - x}]}$

Schritt 1.3.4

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{20 - x}]}$

Schritt 1.3.5

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{20 - x}]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{x} - \sqrt{20 - x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{20 - x}]$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{20 - x}]}$

Schritt 1.3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{20 - x}]}$

Schritt 1.3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{20 - x}]}$

Schritt 1.3.7.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{20 - x}]}$

Schritt 1.3.7.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{20 - x}]}$

Schritt 1.3.7.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{20 - x}]}$

Schritt 1.3.7.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.7.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{20 - x}]}$

Schritt 1.3.7.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{20 - x}]}$

Schritt 1.3.7.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{20 - x}]}$

Schritt 1.3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sqrt{20 - x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{20 - x}$ als ${(20 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- {(20 - x)}^{\frac{1}{2}}]}$

Schritt 1.3.8.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- {(20 - x)}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [{(20 - x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{d}{d x} [{(20 - x)}^{\frac{1}{2}}]}$

Schritt 1.3.8.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 20 - x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.8.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $20 - x$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [20 - x])}$

Schritt 1.3.8.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [20 - x])}$

Schritt 1.3.8.3.3

Ersetze alle $u$ durch $20 - x$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(20 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [20 - x])}$

Schritt 1.3.8.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $20 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(20 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [- x]))}$

Schritt 1.3.8.5

Da $20$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $20$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(20 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))}$

Schritt 1.3.8.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(20 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x]))}$

Schritt 1.3.8.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(20 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))}$

Schritt 1.3.8.8

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(20 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Schritt 1.3.8.9

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(20 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Schritt 1.3.8.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(20 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Schritt 1.3.8.11

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.8.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(20 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Schritt 1.3.8.11.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(20 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Schritt 1.3.8.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(20 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Schritt 1.3.8.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(20 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1))}$

Schritt 1.3.8.14

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(20 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1)}$

Schritt 1.3.8.15

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(20 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{{(20 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1)}$

Schritt 1.3.8.16

Kombiniere $\frac{{(20 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $- 1$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{{(20 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}}$

Schritt 1.3.8.17

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von ${(20 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{- 1 \cdot {(20 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Schritt 1.3.8.18

Schreibe $- 1 {(20 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ als $- {(20 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ um.

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{- {(20 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Schritt 1.3.8.19

Bringe ${(20 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{- 1}{2 {(20 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 1.3.8.20

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - - \frac{1}{2 {(20 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 1.3.8.21

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 1 \frac{1}{2 {(20 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 1.3.8.22

Mutltipliziere $\frac{1}{2 {(20 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2 {(20 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 1.3.9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.9.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {(20 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 1.3.9.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {(20 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 1.4

Wandle die gebrochene Exponenten in Wurzelausdrücke um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Schreibe $x^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x}$ um.

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 {(20 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 1.4.2

Schreibe ${(20 - x)}^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{20 - x}$ um.

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{20 - x}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $10$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 10} 1}{lim_{x \to 10} \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{20 - x}}}$

Schritt 2.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $10$ annähert.

$\frac{1}{lim_{x \to 10} \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{20 - x}}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $10$ annähert.

$\frac{1}{lim_{x \to 10} \frac{1}{2 \sqrt{x}} + lim_{x \to 10} \frac{1}{2 \sqrt{20 - x}}}$

Schritt 2.4

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{\frac{1}{2} lim_{x \to 10} \frac{1}{\sqrt{x}} + lim_{x \to 10} \frac{1}{2 \sqrt{20 - x}}}$

Schritt 2.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $10$ annähert.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 10} 1}{lim_{x \to 10} \sqrt{x}} + lim_{x \to 10} \frac{1}{2 \sqrt{20 - x}}}$

Schritt 2.6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $10$ annähert.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 10} \sqrt{x}} + lim_{x \to 10} \frac{1}{2 \sqrt{20 - x}}}$

Schritt 2.7

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 10} x}} + lim_{x \to 10} \frac{1}{2 \sqrt{20 - x}}}$

Schritt 2.8

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 10} x}} + \frac{1}{2} lim_{x \to 10} \frac{1}{\sqrt{20 - x}}}$

Schritt 2.9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $10$ annähert.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 10} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 10} 1}{lim_{x \to 10} \sqrt{20 - x}}}$

Schritt 2.10

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $10$ annähert.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 10} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 10} \sqrt{20 - x}}}$

Schritt 2.11

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 10} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 10} 20 - x}}}$

Schritt 2.12

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $10$ annähert.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 10} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 10} 20 - lim_{x \to 10} x}}}$

Schritt 2.13

Berechne den Grenzwert von $20$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $10$ annähert.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 10} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{20 - lim_{x \to 10} x}}}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $10$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $10$ für $x$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{20 - lim_{x \to 10} x}}}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $10$ für $x$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{20 - 10}}}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Subtrahiere $10$ von $20$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

Schritt 4.2.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

Schritt 4.2.2.2

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

Schritt 4.2.2.3

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

Schritt 4.2.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

Schritt 4.2.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

Schritt 4.2.2.6

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

Schritt 4.2.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

Schritt 4.2.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

Schritt 4.2.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

Schritt 4.2.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10^{1}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

Schritt 4.2.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

Schritt 4.2.3

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{10}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{2 \cdot 10} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

Schritt 4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

Schritt 4.2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}})}$

Schritt 4.2.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}}$

Schritt 4.2.5.2

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}}$

Schritt 4.2.5.3

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}}$

Schritt 4.2.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}}$

Schritt 4.2.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}}$

Schritt 4.2.5.6

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Schritt 4.2.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Schritt 4.2.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}}$

Schritt 4.2.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}}$

Schritt 4.2.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10^{1}}}$

Schritt 4.2.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10}}$

Schritt 4.2.6

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{10}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{\sqrt{10}}{2 \cdot 10}}$

Schritt 4.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{\sqrt{10}}{20}}$

Schritt 4.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10} + \sqrt{10}}{20}}$

Schritt 4.2.8

Schreibe $\frac{\sqrt{10} + \sqrt{10}}{20}$ in eine faktorisierte Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.8.1

Addiere $\sqrt{10}$ und $\sqrt{10}$ .

$\frac{1}{\frac{2 \sqrt{10}}{20}}$

Schritt 4.2.8.2

Vereinfache den Ausdruck $\frac{2 \sqrt{10}}{20}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{10}$ heraus.

$\frac{1}{\frac{2 (\sqrt{10})}{20}}$

Schritt 4.2.8.2.2

Faktorisiere $2$ aus $20$ heraus.

$\frac{1}{\frac{2 \sqrt{10}}{2 \cdot 10}}$

Schritt 4.2.8.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\frac{2 \sqrt{10}}{2 \cdot 10}}$

Schritt 4.2.8.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{10}}$

Schritt 4.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 \frac{10}{\sqrt{10}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $\frac{10}{\sqrt{10}}$ mit $1$ .

$\frac{10}{\sqrt{10}}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $\frac{10}{\sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{10}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Schritt 4.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $\frac{10}{\sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{10 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Schritt 4.6.2

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\frac{10 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

Schritt 4.6.3

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\frac{10 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

Schritt 4.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{10 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{10 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Schritt 4.6.6

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{10 \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10 \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{10 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{10 \sqrt{10}}{10^{1}}$

Schritt 4.6.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{10 \sqrt{10}}{10}$

Schritt 4.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 \sqrt{10}}{10}$

Schritt 4.7.2

Dividiere $\sqrt{10}$ durch $1$ .

$\sqrt{10}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\sqrt{10}$

Dezimalform:

$3.16227766 \dots$