Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} x^{\frac{6}{x - 1}}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe $x^{\frac{6}{x - 1}}$ als $e^{\ln (x^{\frac{6}{x - 1}})}$ um.

$lim_{x \to 1} e^{\ln (x^{\frac{6}{x - 1}})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln (x^{\frac{6}{x - 1}})$ durch Herausziehen von $\frac{6}{x - 1}$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to 1} e^{\frac{6}{x - 1} \ln (x)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to 1} \frac{6}{x - 1} \ln (x)}$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{6}{x - 1}$ und $\ln (x)$ .

$e^{lim_{x \to 1} \frac{6 \ln (x)}{x - 1}}$

Schritt 2.3

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{6 lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{x - 1}}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$e^{6 \frac{lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x - 1}}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$e^{6 \frac{\ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x - 1}}$

Schritt 3.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$e^{6 \frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} x - 1}}$

Schritt 3.1.2.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$e^{6 \frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$e^{6 \frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}}$

Schritt 3.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$e^{6 \frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}$

Schritt 3.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$e^{6 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}}$

Schritt 3.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e^{6 \frac{0}{1 - 1}}$

Schritt 3.1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$e^{6 (\frac{0}{0})}$

Schritt 3.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{6 (\frac{0}{0})}$

Schritt 3.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{6 (\frac{0}{0})}$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{6 (\frac{0}{0})}$

Schritt 3.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$e^{6 lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}}$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$e^{6 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}}$

Schritt 3.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$e^{6 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}}$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{6 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}}$

Schritt 3.3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{6 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1 + 0}}$

Schritt 3.3.6

Addiere $1$ und $0$ .

$e^{6 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1}}$

Schritt 3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e^{6 lim_{x \to 1} \frac{1}{x} \cdot 1}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$e^{6 lim_{x \to 1} \frac{1}{x}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$e^{6 \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$e^{6 \frac{1}{lim_{x \to 1} x}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$e^{6 (\frac{1}{1})}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{6 (\frac{1}{1})}$

Schritt 6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{6 \cdot 1}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$e^{6}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$e^{6}$

Dezimalform:

$403.42879349 \dots$