Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\tan (3 x)}$

Schritt 1

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (3 x)}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.3.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$2 \frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Schritt 2.1.3.1.2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 \frac{0}{\tan (3 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 2.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$2 \frac{0}{\tan (3 \cdot 0)}$

Schritt 2.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.3.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$2 \frac{0}{\tan (0)}$

Schritt 2.1.3.3.2

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 2.3.3.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 2.3.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (3 x) \cdot 3 \cdot 1}$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (3 x) \cdot 3}$

Schritt 2.3.7

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sec^{2} (3 x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sec^{2} (3 x)}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Ziehe den Term $\frac{1}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 (\frac{1}{3}) lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (3 x)}$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$2 (\frac{1}{3}) \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x)}$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$2 (\frac{1}{3}) \frac{1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x)}$

Schritt 3.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sec^{2} (3 x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$2 (\frac{1}{3}) \frac{1}{{(lim_{x \to 0} \sec (3 x))}^{2}}$

Schritt 3.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$2 (\frac{1}{3}) \frac{1}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Schritt 3.6

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 (\frac{1}{3}) \frac{1}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$2 (\frac{1}{3}) \frac{1}{\sec^{2} (3 \cdot 0)}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sec^{2} (3 \cdot 0)}$

Schritt 5.2

Kombinieren.

$\frac{2 \cdot 1}{3 \sec^{2} (3 \cdot 0)}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2}{3 \sec^{2} (3 \cdot 0)}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{2}{3 \sec^{2} (0)}$

Schritt 5.4.2

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\frac{2}{3 \cdot 1^{2}}$

Schritt 5.4.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2}{3 \cdot 1}$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{2}{3}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2}{3}$

Dezimalform:

$0.\overline{6}$