Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\arcsin (x)}{x}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} \arcsin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert von $\arcsin (x)$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\arcsin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.2

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\arcsin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.2

Die Ableitung von $\arcsin (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{1}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot 1$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x^{2}}}$

Schritt 2.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x^{2}}}$

Schritt 2.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - x^{2}}}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{\sqrt{1 - lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Schritt 2.6

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 0^{2}}}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 0}}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Schritt 4.1.3

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1}}$

Schritt 4.1.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{1}{1}$

Schritt 4.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$1$