Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (a + x) - \cos (a - x)}{x}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (a + x) - \cos (a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (a + x) - lim_{x \to 0} \cos (a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} a + x) - lim_{x \to 0} \cos (a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} a + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.4

Berechne den Grenzwert von $a$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{\cos (a + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\cos (a + lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\cos (a + lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} a - lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.7

Berechne den Grenzwert von $a$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{\cos (a + lim_{x \to 0} x) - \cos (a - lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\cos (a + 0) - \cos (a - lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\cos (a + 0) - \cos (a + 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.9

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\cos (a + 0) - \cos (a + 0)$ .

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Schritt 1.1.2.9.1

Addiere $a$ und $0$ .

$\frac{\cos (a) - \cos (a + 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.9.2

Addiere $a$ und $0$ .

$\frac{\cos (a) - \cos (a)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.9.3

Subtrahiere $\cos (a)$ von $\cos (a)$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (a + x) - \cos (a - x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (a + x) - \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (a + x) - \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\cos (a + x) - \cos (a - x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\cos (a + x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (a + x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\cos (a + x)]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = a + x$ .

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Schritt 1.3.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $a + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [a + x] + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.1.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [a + x] + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $a + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) \frac{d}{d x} [a + x] + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.3

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.5

Addiere $0$ und $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (a - x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (a - x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - \frac{d}{d x} [\cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = a - x$ .

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Schritt 1.3.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $a - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [a - x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.4.2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [a - x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.4.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $a - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) \frac{d}{d x} [a - x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.4.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.4.4

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.4.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) (0 - \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.4.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.4.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) (0 - 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.4.8

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) \cdot - 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.4.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (1 \sin (a - x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.4.10

Mutltipliziere $\sin (a - x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - \sin (a - x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - \sin (a - x)}{1}$

Schritt 1.4

Dividiere $- \sin (a + x) - \sin (a - x)$ durch $1$ .

$lim_{x \to 0} - \sin (a + x) - \sin (a - x)$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$- lim_{x \to 0} \sin (a + x) - lim_{x \to 0} \sin (a - x)$

Schritt 2.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$- \sin (lim_{x \to 0} a + x) - lim_{x \to 0} \sin (a - x)$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$- \sin (lim_{x \to 0} a + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (a - x)$

Schritt 2.4

Berechne den Grenzwert von $a$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$- \sin (a + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (a - x)$

Schritt 2.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$- \sin (a + lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} a - x)$

Schritt 2.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$- \sin (a + lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} a - lim_{x \to 0} x)$

Schritt 2.7

Berechne den Grenzwert von $a$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$- \sin (a + lim_{x \to 0} x) - \sin (a - lim_{x \to 0} x)$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$- \sin (a + 0) - \sin (a - lim_{x \to 0} x)$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$- \sin (a + 0) - \sin (a + 0)$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- \sin (a + 0) - \sin (a + 0)$ .

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Schritt 4.1.1

Addiere $a$ und $0$ .

$- \sin (a) - \sin (a + 0)$

Schritt 4.1.2

Addiere $a$ und $0$ .

$- \sin (a) - \sin (a)$

Schritt 4.2

Subtrahiere $\sin (a)$ von $- \sin (a)$ .

$- 2 \sin (a)$