Analysis Beispiele

Berechne den Grenzwert Grenzwert von (cos(a+x)-cos(a-x))/x, wenn x gegen 0 geht
Schritt 1
Wende die Regel von de L’Hospital an.
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Schritt 1.1
Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.
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Schritt 1.1.1
Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.
Schritt 1.1.2
Berechne den Grenzwert des Zählers.
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Schritt 1.1.2.1
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 1.1.2.2
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.
Schritt 1.1.2.3
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 1.1.2.4
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 1.1.2.5
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.
Schritt 1.1.2.6
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 1.1.2.7
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 1.1.2.8
Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von für alle .
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Schritt 1.1.2.8.1
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 1.1.2.8.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 1.1.2.9
Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in .
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Schritt 1.1.2.9.1
Addiere und .
Schritt 1.1.2.9.2
Addiere und .
Schritt 1.1.2.9.3
Subtrahiere von .
Schritt 1.1.3
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 1.1.4
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 1.2
Da unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.
Schritt 1.3
Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.
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Schritt 1.3.1
Differenziere den Zähler und Nenner.
Schritt 1.3.2
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.3.3
Berechne .
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Schritt 1.3.3.1
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
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Schritt 1.3.3.1.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 1.3.3.1.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 1.3.3.1.3
Ersetze alle durch .
Schritt 1.3.3.2
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.3.3.3
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.3.3.4
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.3.3.5
Addiere und .
Schritt 1.3.3.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.4
Berechne .
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Schritt 1.3.4.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.3.4.2
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
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Schritt 1.3.4.2.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 1.3.4.2.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 1.3.4.2.3
Ersetze alle durch .
Schritt 1.3.4.3
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.3.4.4
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.3.4.5
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.3.4.6
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.3.4.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.4.8
Subtrahiere von .
Schritt 1.3.4.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.4.10
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.5
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.4
Dividiere durch .
Schritt 2
Berechne den Grenzwert.
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Schritt 2.1
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 2.2
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.
Schritt 2.3
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 2.4
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 2.5
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.
Schritt 2.6
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 2.7
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 3
Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von für alle .
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Schritt 3.1
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 3.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 4
Vereinfache die Lösung.
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Schritt 4.1
Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in .
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Schritt 4.1.1
Addiere und .
Schritt 4.1.2
Addiere und .
Schritt 4.2
Subtrahiere von .