Gib eine Aufgabe ein ...
Analysis Beispiele
Schritt 1
Schritt 1.1
Schreibe als um.
Schritt 1.2
Zerlege durch Herausziehen von aus dem Logarithmus.
Schritt 2
Stelle den Grenzwert als linksseitigen Grenzwert auf.
Schritt 3
Schritt 3.1
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3
Der genau Wert von ist .
Schritt 3.4
Da nicht definiert ist, existiert der Grenzwert nicht.
Schritt 4
Stelle den Grenzwert als rechtsseitigen Grenzwert auf.
Schritt 5
Schritt 5.1
Bringe den Grenzwert in den Exponenten.
Schritt 5.2
Schreibe als um.
Schritt 5.3
Wende die Regel von de L’Hospital an.
Schritt 5.3.1
Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.
Schritt 5.3.1.1
Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.
Schritt 5.3.1.2
Wenn von rechts gegen geht, nimmt ohne Schranke ab.
Schritt 5.3.1.3
Da der Zähler eine Konstante ist und der Nenner sich nähert, wenn von rechts gegen geht, geht der Bruch gegen unendlich.
Schritt 5.3.1.4
Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 5.3.2
Da unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.
Schritt 5.3.3
Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.
Schritt 5.3.3.1
Differenziere den Zähler und Nenner.
Schritt 5.3.3.2
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Schritt 5.3.3.2.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 5.3.3.2.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 5.3.3.2.3
Ersetze alle durch .
Schritt 5.3.3.3
Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um.
Schritt 5.3.3.4
Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch zu dividieren.
Schritt 5.3.3.5
Schreibe als einen Bruch mit dem Nenner .
Schritt 5.3.3.6
Vereinfache.
Schritt 5.3.3.6.1
Forme den Ausdruck um.
Schritt 5.3.3.6.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.3.7
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Schritt 5.3.3.7.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 5.3.3.7.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 5.3.3.7.3
Ersetze alle durch .
Schritt 5.3.3.8
Kombiniere und .
Schritt 5.3.3.9
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 5.3.3.10
Kombiniere und .
Schritt 5.3.3.11
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 5.3.3.12
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.3.13
Vereinfache.
Schritt 5.3.3.13.1
Vereinfache den Zähler.
Schritt 5.3.3.13.1.1
Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um.
Schritt 5.3.3.13.1.2
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 5.3.3.13.1.3
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 5.3.3.13.1.4
Kombiniere und .
Schritt 5.3.3.13.1.5
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 5.3.3.13.1.5.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.3.3.13.1.5.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.3.3.13.1.5.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 5.3.3.13.2
Vereine die Terme
Schritt 5.3.3.13.2.1
Schreibe als ein Produkt um.
Schritt 5.3.3.13.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.3.14
Schreibe als um.
Schritt 5.3.3.15
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 5.3.3.16
Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 5.3.4
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 5.3.5
Kombiniere und .
Schritt 5.4
Berechne den Grenzwert.
Schritt 5.4.1
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 5.4.2
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 5.5
Wende die Regel von de L’Hospital an.
Schritt 5.5.1
Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.
Schritt 5.5.1.1
Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.
Schritt 5.5.1.2
Berechne den Grenzwert des Zählers.
Schritt 5.5.1.2.1
Ziehe den Exponenten von aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.
Schritt 5.5.1.2.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 5.5.1.2.3
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 5.5.1.3
Berechne den Grenzwert des Nenners.
Schritt 5.5.1.3.1
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 5.5.1.3.2
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.
Schritt 5.5.1.3.3
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 5.5.1.3.4
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.
Schritt 5.5.1.3.5
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 5.5.1.3.6
Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von für alle .
Schritt 5.5.1.3.6.1
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 5.5.1.3.6.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 5.5.1.3.7
Vereinfache die Lösung.
Schritt 5.5.1.3.7.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.5.1.3.7.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 5.5.1.3.7.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.5.1.3.7.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.5.1.3.7.5
Der genau Wert von ist .
Schritt 5.5.1.3.7.6
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 5.5.1.3.8
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 5.5.1.4
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 5.5.2
Da unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.
Schritt 5.5.3
Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.
Schritt 5.5.3.1
Differenziere den Zähler und Nenner.
Schritt 5.5.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 5.5.3.3
Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 5.5.3.4
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Schritt 5.5.3.4.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 5.5.3.4.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 5.5.3.4.3
Ersetze alle durch .
Schritt 5.5.3.5
Potenziere mit .
Schritt 5.5.3.6
Potenziere mit .
Schritt 5.5.3.7
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 5.5.3.8
Addiere und .
Schritt 5.5.3.9
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 5.5.3.10
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 5.5.3.11
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.5.3.12
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 5.5.3.13
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Schritt 5.5.3.13.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 5.5.3.13.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 5.5.3.13.3
Ersetze alle durch .
Schritt 5.5.3.14
Potenziere mit .
Schritt 5.5.3.15
Potenziere mit .
Schritt 5.5.3.16
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 5.5.3.17
Addiere und .
Schritt 5.5.3.18
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 5.5.3.19
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.5.3.20
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 5.5.3.21
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.6
Berechne den Grenzwert.
Schritt 5.6.1
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 5.6.2
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 5.6.3
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 5.6.4
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 5.6.5
Ziehe den Exponenten von aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.
Schritt 5.6.6
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.
Schritt 5.6.7
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 5.6.8
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 5.6.9
Ziehe den Exponenten von aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.
Schritt 5.6.10
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.
Schritt 5.6.11
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 5.7
Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von für alle .
Schritt 5.7.1
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 5.7.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 5.7.3
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 5.8
Vereinfache die Lösung.
Schritt 5.8.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.8.2
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Schritt 5.8.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.8.2.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Schritt 5.8.2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.8.2.2.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.8.2.2.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.8.2.2.4
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.8.2.2.5
Forme den Ausdruck um.
Schritt 5.8.3
Vereinfache den Nenner.
Schritt 5.8.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.8.3.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 5.8.3.3
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 5.8.3.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.8.3.5
Der genau Wert von ist .
Schritt 5.8.3.6
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 5.8.3.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.8.3.8
Addiere und .
Schritt 5.8.4
Dividiere durch .
Schritt 5.8.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.9
Alles, was mit potenziert wird, ist .
Schritt 6
Wenn einer der beiden einseitigen Grenzwerte nicht existiert, dann existiert der Grenzwert nicht.