Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\arctan (8 x)}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \arctan (8 x)}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \arctan (8 x)}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.2

Ersetze $t$ für $8 x$ und lasse $t$ sich $0$ nähern solange $lim_{x \to 0} 8 x = 0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} \arctan (t)}$

Schritt 1.1.3.3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $t$ .

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Schritt 1.1.3.3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{\arctan (0)}$

Schritt 1.1.3.3.2

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\arctan (8 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\arctan (8 x)]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\arctan (8 x)]}$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\arctan (8 x)]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = 8 x$ .

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Schritt 1.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $8 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [8 x]}$

Schritt 1.3.3.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [8 x]}$

Schritt 1.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $8 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + {(8 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [8 x]}$

Schritt 1.3.4

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + {(8 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [8 x]}$

Schritt 1.3.5

Wende die Produktregel auf $8 (x)$ an.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + 8^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [8 x]}$

Schritt 1.3.6

Potenziere $8$ mit $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + 64 x^{2}} \frac{d}{d x} [8 x]}$

Schritt 1.3.7

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + 64 x^{2}} (8 \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 1.3.8

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{1 + 64 x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{8}{1 + 64 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{8}{1 + 64 x^{2}} \cdot 1}$

Schritt 1.3.10

Mutltipliziere $\frac{8}{1 + 64 x^{2}}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{8}{1 + 64 x^{2}}}$

Schritt 1.3.11

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{8}{64 x^{2} + 1}}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 0} 1 \frac{64 x^{2} + 1}{8}$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $\frac{64 x^{2} + 1}{8}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{64 x^{2} + 1}{8}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $\frac{1}{8}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{8} lim_{x \to 0} 64 x^{2} + 1$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{8} (lim_{x \to 0} 64 x^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

Schritt 2.3

Ziehe den Term $64$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{8} (64 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

Schritt 2.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{8} (64 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{8} (64 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1)$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{8} (64 \cdot 0^{2} + 1)$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{8} (64 \cdot 0 + 1)$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $64$ mit $0$ .

$\frac{1}{8} (0 + 1)$

Schritt 4.2

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1}{8} \cdot 1$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{8}$ mit $1$ .

$\frac{1}{8}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{8}$

Dezimalform:

$0.125$