Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (3 x)}{\tan (5 x)}$

Schritt 1

Wende trigonometrische Formeln an.

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Schritt 1.1

Schreibe $\tan (5 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (3 x)}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

Schritt 1.2

Schreibe $\tan (3 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

Schritt 1.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ zu dividieren.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Wandle von $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ nach $\tan (3 x)$ um.

$lim_{x \to 0} \tan (3 x) \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Schritt 1.4.2

Wandle von $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ nach $\cot (5 x)$ um.

$lim_{x \to 0} \tan (3 x) \cot (5 x)$

Schritt 2

Betrachte den linksseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{-}} \tan (3 x) \cot (5 x)$

Schritt 3

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\tan (3 x) \cot (5 x)$ zeigt, wenn sich $x$ von links $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & \tan (3 x) \cot (5 x) \\ - 0.1 & 0.5662362 \\ - 0.01 & 0.59967983 \\ - 0.001 & 0.59999679 \end{array}$

Schritt 4

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $0.6$ an. Folglich ist der linksseitige Grenzwert von $\tan (3 x) \cot (5 x)$ für $x$ gegen $0$ gleich $0.6$ .

$0.6$

Schritt 5

Betrachte den rechtsseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{+}} \tan (3 x) \cot (5 x)$

Schritt 6

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\tan (3 x) \cot (5 x)$ zeigt, wenn sich $x$ von rechts $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & \tan (3 x) \cot (5 x) \\ 0.1 & 0.5662362 \\ 0.01 & 0.59967983 \\ 0.001 & 0.59999679 \end{array}$

Schritt 7

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $0.6$ an. Folglich ist der rechtsseitige Limes von $\tan (3 x) \cot (5 x)$ für $x$ gegen $0$ gleich $0.6$ .

$0.6$