Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x^{2})}{3 x}$

Schritt 1

Ziehe den Term $\frac{1}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x^{2})}{x}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (4 x^{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} 4 x^{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.1.2

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (4 lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.1.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (4 \cdot 0^{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x^{2})}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (4 x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (4 x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 4 x^{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x^{2}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x^{2}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x^{2}) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x^{2}) \cdot 4 \cdot 2 x}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x^{2}) \cdot 8 x}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.6

Stelle die Faktoren von $\cos (4 x^{2}) (8 x)$ um.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{8 x \cos (4 x^{2})}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{8 x \cos (4 x^{2})}{1}$

Schritt 2.4

Dividiere $8 x \cos (4 x^{2})$ durch $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} 8 x \cos (4 x^{2})$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} \cdot 8 lim_{x \to 0} x \cos (4 x^{2})$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot 8 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (4 x^{2})$

Schritt 3.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{3} \cdot 8 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} 4 x^{2})$

Schritt 3.4

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} \cdot 8 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x^{2})$

Schritt 3.5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{3} \cdot 8 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2})$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 \cdot 0 \cdot \cos (4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2})$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 \cdot 0 \cdot \cos (4 \cdot 0^{2})$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $8$ .

$\frac{8}{3} \cdot 0 \cdot \cos (4 \cdot 0^{2})$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{8}{3}$ mit $0$ .

$0 \cdot \cos (4 \cdot 0^{2})$

Schritt 5.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 \cdot \cos (4 \cdot 0)$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$0 \cdot \cos (0)$

Schritt 5.5

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$0 \cdot 1$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$0$