Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} x^{2} \cos (20 π x)$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (20 π x)$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (20 π x)$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

${(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} 20 π x)$

Schritt 4

Ziehe den Term $20 π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

${(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (20 π lim_{x \to 0} x)$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$0^{2} \cdot \cos (20 π lim_{x \to 0} x)$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$0^{2} \cdot \cos (20 π \cdot 0)$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 \cdot \cos (20 π \cdot 0)$

Schritt 6.2

Multipliziere $20 π \cdot 0$ .

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $20$ .

$0 \cdot \cos (0 π)$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$0 \cdot \cos (0)$

Schritt 6.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$0 \cdot 1$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$0$