Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x} - 4^{x}}{x}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} 3^{x} - 4^{x}}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 3^{x} - lim_{x \to 0} 4^{x}}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{3^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 4^{x}}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{3^{lim_{x \to 0} x} - 4^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{3^{0} - 4^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{3^{0} - 4^{0}}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.5.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1 - 4^{0}}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.5.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.5.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x} - 4^{x}}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3^{x} - 4^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3^{x} - 4^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3^{x} - 4^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x} \ln (3) + \frac{d}{d x} [- 4^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4^{x}]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4^{x}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [4^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x} \ln (3) - \frac{d}{d x} [4^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x} \ln (3) - 4^{x} \ln (4)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x} \ln (3) - 4^{x} \ln (4)}{1}$

Schritt 1.4

Dividiere $3^{x} \ln (3) - 4^{x} \ln (4)$ durch $1$ .

$lim_{x \to 0} 3^{x} \ln (3) - 4^{x} \ln (4)$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$lim_{x \to 0} 3^{x} \ln (3) - lim_{x \to 0} 4^{x} \ln (4)$

Schritt 2.2

Ziehe den Term $\ln (3)$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\ln (3) lim_{x \to 0} 3^{x} - lim_{x \to 0} 4^{x} \ln (4)$

Schritt 2.3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\ln (3) \cdot 3^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 4^{x} \ln (4)$

Schritt 2.4

Ziehe den Term $\ln (4)$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\ln (3) \cdot 3^{lim_{x \to 0} x} - \ln (4) lim_{x \to 0} 4^{x}$

Schritt 2.5

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\ln (3) \cdot 3^{lim_{x \to 0} x} - \ln (4) \cdot 4^{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\ln (3) \cdot 3^{0} - \ln (4) \cdot 4^{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\ln (3) \cdot 3^{0} - \ln (4) \cdot 4^{0}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\ln (3) \cdot 1 - \ln (4) \cdot 4^{0}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $\ln (3)$ mit $1$ .

$\ln (3) - \ln (4) \cdot 4^{0}$

Schritt 4.1.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\ln (3) - \ln (4) \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\ln (3) - \ln (4)$

Schritt 4.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{3}{4})$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\ln (\frac{3}{4})$

Dezimalform:

$- 0.28768207 \dots$