Analysis Beispiele

Berechne den Grenzwert Grenzwert von ((sin(x))/x)^(1/(x^2)), wenn x gegen 0 geht
Schritt 1
Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Schreibe als um.
Schritt 1.2
Zerlege durch Herausziehen von aus dem Logarithmus.
Schritt 2
Berechne den Grenzwert.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1
Bringe den Grenzwert in den Exponenten.
Schritt 2.2
Kombiniere und .
Schritt 3
Wende die Regel von de L’Hospital an.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1
Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.1
Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.
Schritt 3.1.2
Berechne den Grenzwert des Zählers.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.2.1
Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.
Schritt 3.1.2.2
Wende das Einschnürungstheorem an, da und .
Schritt 3.1.2.3
Der natürliche Logarithmus von ist .
Schritt 3.1.3
Berechne den Grenzwert des Nenners.
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Schritt 3.1.3.1
Ziehe den Exponenten von aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.
Schritt 3.1.3.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 3.1.3.3
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 3.1.3.4
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 3.1.4
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 3.2
Da unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.
Schritt 3.3
Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.1
Differenziere den Zähler und Nenner.
Schritt 3.3.2
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
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Schritt 3.3.2.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 3.3.2.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 3.3.2.3
Ersetze alle durch .
Schritt 3.3.3
Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch zu dividieren.
Schritt 3.3.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3.5
Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 3.3.6
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 3.3.7
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 3.3.8
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3.10
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
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Schritt 3.3.10.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.3.10.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.3.10.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.3.11
Stelle die Terme um.
Schritt 3.3.12
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 3.4
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 3.5
Vereinige Faktoren.
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Schritt 3.5.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.5.2
Potenziere mit .
Schritt 3.5.3
Potenziere mit .
Schritt 3.5.4
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 3.5.5
Addiere und .
Schritt 4
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 5
Wende die Regel von de L’Hospital an.
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Schritt 5.1
Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1.1
Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.
Schritt 5.1.2
Berechne den Grenzwert des Zählers.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1.2.1
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 5.1.2.2
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 5.1.2.3
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.
Schritt 5.1.2.4
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.
Schritt 5.1.2.5
Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von für alle .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1.2.5.1
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 5.1.2.5.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 5.1.2.5.3
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 5.1.2.6
Vereinfache die Lösung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1.2.6.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1.2.6.1.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 5.1.2.6.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.1.2.6.1.3
Der genau Wert von ist .
Schritt 5.1.2.6.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.1.2.6.2
Addiere und .
Schritt 5.1.3
Berechne den Grenzwert des Nenners.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1.3.1
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 5.1.3.2
Ziehe den Exponenten von aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.
Schritt 5.1.3.3
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.
Schritt 5.1.3.4
Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von für alle .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1.3.4.1
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 5.1.3.4.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 5.1.3.5
Vereinfache die Lösung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1.3.5.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 5.1.3.5.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 5.1.3.5.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.1.3.5.4
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 5.1.3.6
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 5.1.4
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 5.2
Da unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.
Schritt 5.3
Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.1
Differenziere den Zähler und Nenner.
Schritt 5.3.2
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 5.3.3
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.3.1
Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 5.3.3.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 5.3.3.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 5.3.3.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.4
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.4.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 5.3.4.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 5.3.5
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.5.1
Vereine die Terme
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.5.1.1
Subtrahiere von .
Schritt 5.3.5.1.2
Addiere und .
Schritt 5.3.5.2
Stelle die Faktoren von um.
Schritt 5.3.6
Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 5.3.7
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 5.3.8
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 5.3.9
Stelle die Terme um.
Schritt 6
Wende die Regel von de L’Hospital an.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.1
Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.1.1
Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.
Schritt 6.1.2
Berechne den Grenzwert des Zählers.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.1.2.1
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 6.1.2.2
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 6.1.2.3
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.
Schritt 6.1.2.4
Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von für alle .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.1.2.4.1
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 6.1.2.4.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 6.1.2.5
Vereinfache die Lösung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.1.2.5.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 6.1.2.5.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.1.3
Berechne den Grenzwert des Nenners.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.1.3.1
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 6.1.3.2
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 6.1.3.3
Ziehe den Exponenten von aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.
Schritt 6.1.3.4
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.
Schritt 6.1.3.5
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 6.1.3.6
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 6.1.3.7
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.
Schritt 6.1.3.8
Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von für alle .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.1.3.8.1
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 6.1.3.8.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 6.1.3.8.3
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 6.1.3.8.4
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 6.1.3.9
Vereinfache die Lösung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.1.3.9.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.1.3.9.1.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 6.1.3.9.1.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 6.1.3.9.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.1.3.9.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.1.3.9.1.5
Der genau Wert von ist .
Schritt 6.1.3.9.1.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.1.3.9.2
Addiere und .
Schritt 6.1.3.9.3
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 6.1.3.10
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 6.1.4
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 6.2
Da unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.
Schritt 6.3
Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.1
Differenziere den Zähler und Nenner.
Schritt 6.3.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 6.3.3
Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 6.3.4
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 6.3.5
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 6.3.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.3.7
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 6.3.8
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 6.3.9
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.9.1
Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 6.3.9.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 6.3.9.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 6.3.10
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.10.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 6.3.10.2
Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 6.3.10.3
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 6.3.10.4
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 6.3.10.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.3.11
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.11.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 6.3.11.2
Addiere und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.11.2.1
Bewege .
Schritt 6.3.11.2.2
Addiere und .
Schritt 6.3.11.3
Stelle die Terme um.
Schritt 7
Wende die Regel von de L’Hospital an.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.1
Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.1.1
Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.
Schritt 7.1.2
Berechne den Grenzwert des Zählers.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.1.2.1
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 7.1.2.2
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 7.1.2.3
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.
Schritt 7.1.2.4
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.
Schritt 7.1.2.5
Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von für alle .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.1.2.5.1
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 7.1.2.5.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 7.1.2.5.3
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 7.1.2.6
Vereinfache die Lösung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.1.2.6.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.1.2.6.1.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 7.1.2.6.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.1.2.6.1.3
Der genau Wert von ist .
Schritt 7.1.2.6.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.1.2.6.2
Addiere und .
Schritt 7.1.3
Berechne den Grenzwert des Nenners.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.1.3.1
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 7.1.3.2
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 7.1.3.3
Ziehe den Exponenten von aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.
Schritt 7.1.3.4
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.
Schritt 7.1.3.5
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 7.1.3.6
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 7.1.3.7
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.
Schritt 7.1.3.8
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 7.1.3.9
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.
Schritt 7.1.3.10
Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von für alle .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.1.3.10.1
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 7.1.3.10.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 7.1.3.10.3
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 7.1.3.10.4
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 7.1.3.10.5
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 7.1.3.11
Vereinfache die Lösung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.1.3.11.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.1.3.11.1.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 7.1.3.11.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.1.3.11.1.3
Der genau Wert von ist .
Schritt 7.1.3.11.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.1.3.11.1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.1.3.11.1.6
Der genau Wert von ist .
Schritt 7.1.3.11.1.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.1.3.11.1.8
Der genau Wert von ist .
Schritt 7.1.3.11.1.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.1.3.11.2
Addiere und .
Schritt 7.1.3.11.3
Addiere und .
Schritt 7.1.3.11.4
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 7.1.3.12
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 7.1.4
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 7.2
Da unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.
Schritt 7.3
Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.3.1
Differenziere den Zähler und Nenner.
Schritt 7.3.2
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 7.3.3
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.3.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 7.3.3.2
Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 7.3.3.3
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 7.3.3.4
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 7.3.3.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.3.4
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.3.4.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 7.3.4.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 7.3.5
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.3.5.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 7.3.5.2
Vereine die Terme
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.3.5.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.3.5.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.3.5.2.3
Subtrahiere von .
Schritt 7.3.6
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 7.3.7
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.3.7.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 7.3.7.2
Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 7.3.7.3
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 7.3.7.4
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 7.3.8
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.3.8.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 7.3.8.2
Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 7.3.8.3
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 7.3.8.4
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 7.3.8.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.3.9
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.3.9.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 7.3.9.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 7.3.10
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.3.10.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 7.3.10.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 7.3.10.3
Vereine die Terme
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.3.10.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.3.10.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.3.10.3.3
Subtrahiere von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.3.10.3.3.1
Bewege .
Schritt 7.3.10.3.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 7.3.10.3.4
Addiere und .
Schritt 8
Berechne den Grenzwert.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.1
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 8.2
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 8.3
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 8.4
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.
Schritt 8.5
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 8.6
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.
Schritt 8.7
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 8.8
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 8.9
Ziehe den Exponenten von aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.
Schritt 8.10
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.
Schritt 8.11
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 8.12
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 8.13
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.
Schritt 8.14
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 8.15
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.
Schritt 9
Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von für alle .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.1
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 9.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 9.3
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 9.4
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 9.5
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 9.6
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 9.7
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 9.8
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 10
Vereinfache die Lösung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 10.1
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 10.1.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 10.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 10.1.3
Der genau Wert von ist .
Schritt 10.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 10.1.5
Subtrahiere von .
Schritt 10.2
Vereinfache den Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 10.2.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 10.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 10.2.3
Der genau Wert von ist .
Schritt 10.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 10.2.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 10.2.6
Der genau Wert von ist .
Schritt 10.2.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 10.2.8
Der genau Wert von ist .
Schritt 10.2.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 10.2.10
Addiere und .
Schritt 10.2.11
Addiere und .
Schritt 10.3
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 10.3.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 10.3.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 10.3.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 10.3.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 10.3.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 10.4
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 10.5
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 10.5.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 10.5.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 10.6
Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 11
Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.
Exakte Form:
Dezimalform: