Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - 16}{x - 4}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} - 16}{lim_{x \to 0} x - 4}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x - 4}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x - 4}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $16$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x - 4}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 4}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0^{2} - 1 \cdot 16}{0 - 1 \cdot 4}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 16}{0 - 1 \cdot 4}$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$\frac{0 - 16}{0 - 1 \cdot 4}$

Schritt 8.1.3

Subtrahiere $16$ von $0$ .

$\frac{- 16}{0 - 1 \cdot 4}$

Schritt 8.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{- 16}{0 - 4}$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$\frac{- 16}{- 4}$

Schritt 8.3

Dividiere $- 16$ durch $- 4$ .

$4$