Analysis Beispiele

$lim_{x \to 4} \frac{4 x - x^{2}}{2 - \sqrt{x}}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 4} 4 x - x^{2}}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{x}}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 4} 4 x - lim_{x \to 4} x^{2}}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{x}}$

Schritt 1.1.2.2

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} x^{2}}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{x}}$

Schritt 1.1.2.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{4 lim_{x \to 4} x - {(lim_{x \to 4} x)}^{2}}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{x}}$

Schritt 1.1.2.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $4$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{4 \cdot 4 - {(lim_{x \to 4} x)}^{2}}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{x}}$

Schritt 1.1.2.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{4 \cdot 4 - 4^{2}}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{x}}$

Schritt 1.1.2.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.5.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{16 - 4^{2}}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{x}}$

Schritt 1.1.2.5.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{16 - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{x}}$

Schritt 1.1.2.5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$\frac{16 - 16}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{x}}$

Schritt 1.1.2.5.2

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{x}}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 4} 2 - lim_{x \to 4} \sqrt{x}}$

Schritt 1.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$\frac{0}{2 - lim_{x \to 4} \sqrt{x}}$

Schritt 1.1.3.1.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{0}{2 - \sqrt{lim_{x \to 4} x}}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{0}{2 - \sqrt{4}}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{0}{2 - \sqrt{2^{2}}}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Schritt 1.1.3.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 4} \frac{4 x - x^{2}}{2 - \sqrt{x}} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x}]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x}]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x}]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x}]}$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x}]}$

Schritt 1.3.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{4 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x}]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{4 - \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x}]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{4 - (2 x)}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x}]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{4 - 2 x}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x}]}$

Schritt 1.3.5

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x}]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - \sqrt{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}$

Schritt 1.3.7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}$

Schritt 1.3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

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Schritt 1.3.8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]}$

Schritt 1.3.8.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Schritt 1.3.8.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}$

Schritt 1.3.8.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

Schritt 1.3.8.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

Schritt 1.3.8.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}$

Schritt 1.3.8.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.8.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}$

Schritt 1.3.8.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}$

Schritt 1.3.8.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}$

Schritt 1.3.8.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Schritt 1.3.8.10

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 1.3.9

Subtrahiere $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ von $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 4} (- 2 x + 4) (- (2 x^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 1.5

Schreibe $x^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x}$ um.

$lim_{x \to 4} (- 2 x + 4) (- (2 \sqrt{x}))$

Schritt 1.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 4} (- 2 x + 4) (- 2 \sqrt{x})$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $- 2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 2 lim_{x \to 4} (- 2 x + 4) \sqrt{x}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$- 2 lim_{x \to 4} - 2 x + 4 \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$- 2 (- lim_{x \to 4} 2 x + lim_{x \to 4} 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x}$

Schritt 2.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 2 (- 2 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x}$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$- 2 (- 2 lim_{x \to 4} x + 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x}$

Schritt 2.6

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$- 2 (- 2 lim_{x \to 4} x + 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $4$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$- 2 (- 2 \cdot 4 + 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$- 2 (- 2 \cdot 4 + 4) \cdot \sqrt{4}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$- 2 (- 8 + 4) \cdot \sqrt{4}$

Schritt 4.2

Addiere $- 8$ und $4$ .

$- 2 \cdot - 4 \cdot \sqrt{4}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$8 \cdot \sqrt{4}$

Schritt 4.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$8 \cdot \sqrt{2^{2}}$

Schritt 4.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$8 \cdot 2$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$16$