Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x)}{1 - \cos (x)}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sin^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Schritt 1.1.2.1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sin^{2} (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Schritt 1.1.2.3.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 1.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 1.1.3.1.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x)}{1 - \cos (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Schritt 1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Schritt 1.3.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Schritt 1.3.4

Vereinfache.

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Schritt 1.3.4.1

Stelle die Faktoren von $2 \sin (x) \cos (x)$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Schritt 1.3.4.2

Stelle $2 \cos (x)$ und $\sin (x)$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Schritt 1.3.4.3

Stelle $\sin (x)$ und $2$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Schritt 1.3.4.4

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Schritt 1.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Schritt 1.3.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Schritt 1.3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Schritt 1.3.7.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Schritt 1.3.7.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{0 - - \sin (x)}$

Schritt 1.3.7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{0 + 1 \sin (x)}$

Schritt 1.3.7.4

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{0 + \sin (x)}$

Schritt 1.3.8

Addiere $0$ und $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\sin (x)}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 2.1.2.1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 2.1.2.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 2.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Schritt 2.1.3.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 2.3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 2.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 2.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 2.3.7

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$2 \frac{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 3.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$2 \frac{\cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 3.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 3.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{\cos (0)}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$2 \frac{\cos (0)}{\cos (0)}$

Schritt 5.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$2 \frac{1}{\cos (0)}$

Schritt 5.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$2 (\frac{1}{1})$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{1}{1})$

Schritt 5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 1$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$