Analysis Beispiele

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^{2} + 12} - 4}{x - 2}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 12} - 4}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 12} - lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2.1.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} x^{2} + 12} - lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2.1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 12} - lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2.1.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 12} - lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2.1.5

Berechne den Grenzwert von $12$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 12} - lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2.1.6

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 12} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} + 12} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 12} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Addiere $4$ und $12$ .

$\frac{\sqrt{16} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{4^{2}} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2.3.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}$

Schritt 1.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^{2} + 12} - 4}{x - 2} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 12} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 12} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{x^{2} + 12} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 12}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 12}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 12}]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 12}$ als ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + 12$ .

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Schritt 1.3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 12$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 12] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 12$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 12$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [12]) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3.5

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3.11

Addiere $2 x$ und $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3.12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{{(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3.13

Kombiniere $2$ und $\frac{{(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 {(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}}}{2} x + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3.14

Kombiniere $\frac{2 {(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 {(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3.15

Bringe ${(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3.16

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3.17

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.5

Addiere $\frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 1.3.8

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Schritt 1.3.9

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 2} \frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Schritt 1.5

Schreibe ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x^{2} + 12}$ um.

$lim_{x \to 2} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 12}} \cdot 1$

Schritt 1.6

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 12}}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 12}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 12}}$

Schritt 2.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{lim_{x \to 2} x}{\sqrt{lim_{x \to 2} x^{2} + 12}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} x}{\sqrt{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 12}}$

Schritt 2.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{lim_{x \to 2} x}{\sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 12}}$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $12$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} x}{\sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 12}}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2}{\sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 12}}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2}{\sqrt{2^{2} + 12}}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2}{\sqrt{4 + 12}}$

Schritt 4.1.2

Addiere $4$ und $12$ .

$\frac{2}{\sqrt{16}}$

Schritt 4.1.3

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{2}{\sqrt{4^{2}}}$

Schritt 4.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{2}{4}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{4}$

Schritt 4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{2}$

Dezimalform:

$0.5$