Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + x}{x}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) + x}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sin (0) + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sin (0) + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.4.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.4.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + x}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) + x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) + x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (x) + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.5

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos (x)}{1}$

Schritt 1.4

Dividiere $1 + \cos (x)$ durch $1$ .

$lim_{x \to 0} 1 + \cos (x)$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (x)$

Schritt 2.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$1 + lim_{x \to 0} \cos (x)$

Schritt 2.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$1 + \cos (lim_{x \to 0} x)$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$1 + \cos (0)$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$1 + 1$

Schritt 4.2

Addiere $1$ und $1$ .

$2$