Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 8} 5 x^{3} - 3 x^{2} + 10}{x^{2}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 5 x^{3} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} + lim_{x \to 8} 10}{x^{2}}$

Schritt 2

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 lim_{x \to 8} x^{3} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} + lim_{x \to 8} 10}{x^{2}}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{5 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} + lim_{x \to 8} 10}{x^{2}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 3 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 10}{x^{2}}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{5 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 10}{x^{2}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $10$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{5 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 10}{x^{2}}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{5 \cdot 8^{3} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 10}{x^{2}}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{5 \cdot 8^{3} - 3 \cdot 8^{2} + 10}{x^{2}}$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Potenziere $8$ mit $3$ .

$\frac{5 \cdot 512 - 3 \cdot 8^{2} + 10}{x^{2}}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $5$ mit $512$ .

$\frac{2560 - 3 \cdot 8^{2} + 10}{x^{2}}$

Schritt 8.3

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{2560 - 3 \cdot 64 + 10}{x^{2}}$

Schritt 8.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $64$ .

$\frac{2560 - 192 + 10}{x^{2}}$

Schritt 8.5

Subtrahiere $192$ von $2560$ .

$\frac{2368 + 10}{x^{2}}$

Schritt 8.6

Addiere $2368$ und $10$ .

$\frac{2378}{x^{2}}$