Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - 5 x + 10}{x^{2} - 25}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $5$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 5 x + lim_{x \to 5} 10}{x^{2} - 25}$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 5 x + lim_{x \to 5} 10}{x^{2} - 25}$

Schritt 3

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 5} x + lim_{x \to 5} 10}{x^{2} - 25}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $10$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $5$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 5} x + 10}{x^{2} - 25}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $5$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $5$ für $x$ .

$\frac{5^{2} - 5 lim_{x \to 5} x + 10}{x^{2} - 25}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $5$ für $x$ .

$\frac{5^{2} - 5 \cdot 5 + 10}{x^{2} - 25}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{25 - 5 \cdot 5 + 10}{x^{2} - 25}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $5$ .

$\frac{25 - 25 + 10}{x^{2} - 25}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $25$ von $25$ .

$\frac{0 + 10}{x^{2} - 25}$

Schritt 6.1.4

Addiere $0$ und $10$ .

$\frac{10}{x^{2} - 25}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{10}{x^{2} - 5^{2}}$

Schritt 6.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$\frac{10}{(x + 5) (x - 5)}$