Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 2} x - 2}{\sqrt{x^{2} - 4}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}{\sqrt{x^{2} - 4}}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{\sqrt{x^{2} - 4}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{\sqrt{x^{2} - 4}}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 - 2}{\sqrt{x^{2} - 4}}$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{x^{2} - 4}}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{0}{\sqrt{x^{2} - 2^{2}}}$

Schritt 3.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{0}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Schritt 3.3

Dividiere $0$ durch $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$0$