Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - 7 x + 12}{x^{2} + 2 x - 15}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 7 x + lim_{x \to 3} 12}{x^{2} + 2 x - 15}$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 7 x + lim_{x \to 3} 12}{x^{2} + 2 x - 15}$

Schritt 3

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 12}{x^{2} + 2 x - 15}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $12$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 3} x + 12}{x^{2} + 2 x - 15}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{3^{2} - 7 lim_{x \to 3} x + 12}{x^{2} + 2 x - 15}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{3^{2} - 7 \cdot 3 + 12}{x^{2} + 2 x - 15}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{9 - 7 \cdot 3 + 12}{x^{2} + 2 x - 15}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $- 7$ mit $3$ .

$\frac{9 - 21 + 12}{x^{2} + 2 x - 15}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $21$ von $9$ .

$\frac{- 12 + 12}{x^{2} + 2 x - 15}$

Schritt 6.1.4

Addiere $- 12$ und $12$ .

$\frac{0}{x^{2} + 2 x - 15}$

Schritt 6.2

Faktorisiere $x^{2} + 2 x - 15$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 15$ und deren Summe $2$ ist.

$- 3, 5$

Schritt 6.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{0}{(x - 3) (x + 5)}$

Schritt 6.3

Dividiere $0$ durch $(x - 3) (x + 5)$ .

$0$