Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 3} x^{4} - 81}{2 x^{2} - 5 x - 3}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} x^{4} - lim_{x \to 3} 81}{2 x^{2} - 5 x - 3}$

Schritt 1.2

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{4} - lim_{x \to 3} 81}{2 x^{2} - 5 x - 3}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $81$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{4} - 1 \cdot 81}{2 x^{2} - 5 x - 3}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{3^{4} - 1 \cdot 81}{2 x^{2} - 5 x - 3}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Potenziere $3$ mit $4$ .

$\frac{81 - 1 \cdot 81}{2 x^{2} - 5 x - 3}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $81$ .

$\frac{81 - 81}{2 x^{2} - 5 x - 3}$

Schritt 3.1.3

Subtrahiere $81$ von $81$ .

$\frac{0}{2 x^{2} - 5 x - 3}$

Schritt 3.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ und deren Summe gleich $b = - 5$ ist.

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 x$ heraus.

$\frac{0}{2 x^{2} - 5 (x) - 3}$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe $- 5$ um als $1$ plus $- 6$

$\frac{0}{2 x^{2} + (1 - 6) x - 3}$

Schritt 3.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{0}{2 x^{2} + 1 x - 6 x - 3}$

Schritt 3.2.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{0}{2 x^{2} + x - 6 x - 3}$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{0}{(2 x^{2} + x) - 6 x - 3}$

Schritt 3.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{0}{x (2 x + 1) - 3 (2 x + 1)}$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 1$ .

$\frac{0}{(2 x + 1) (x - 3)}$

Schritt 3.3

Dividiere $0$ durch $(2 x + 1) (x - 3)$ .

$0$