Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} + 2 x - 15}{x^{2} - 9}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 15}{x^{2} - 9}$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 15}{x^{2} - 9}$

Schritt 3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 15}{x^{2} - 9}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $15$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15}{x^{2} - 9}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{3^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15}{x^{2} - 9}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{x^{2} - 9}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{9 + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{x^{2} - 9}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{9 + 6 - 1 \cdot 15}{x^{2} - 9}$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $15$ .

$\frac{9 + 6 - 15}{x^{2} - 9}$

Schritt 6.1.4

Addiere $9$ und $6$ .

$\frac{15 - 15}{x^{2} - 9}$

Schritt 6.1.5

Subtrahiere $15$ von $15$ .

$\frac{0}{x^{2} - 9}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{0}{x^{2} - 3^{2}}$

Schritt 6.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{0}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 6.3

Dividiere $0$ durch $(x + 3) (x - 3)$ .

$0$