Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 1} \sin (x - 1)}{x^{2} + x - 2}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to 1} x - 1)}{x^{2} + x - 2}$

Schritt 1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{\sin (lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1)}{x^{2} + x - 2}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{\sin (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}{x^{2} + x - 2}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{\sin (1 - 1 \cdot 1)}{x^{2} + x - 2}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\sin (1 - 1)}{x^{2} + x - 2}$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{\sin (0)}{x^{2} + x - 2}$

Schritt 3.1.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{x^{2} + x - 2}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $x^{2} + x - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $1$ ist.

$- 1, 2$

Schritt 3.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{0}{(x - 1) (x + 2)}$

Schritt 3.3

Dividiere $0$ durch $(x - 1) (x + 2)$ .

$0$