Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 2} x^{3} - 8}{x^{4} - 16}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{3} - lim_{x \to 2} 8}{x^{4} - 16}$

Schritt 1.2

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - lim_{x \to 2} 8}{x^{4} - 16}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $8$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 1 \cdot 8}{x^{4} - 16}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2^{3} - 1 \cdot 8}{x^{4} - 16}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{8 - 1 \cdot 8}{x^{4} - 16}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{8 - 8}{x^{4} - 16}$

Schritt 3.1.3

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$\frac{0}{x^{4} - 16}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$\frac{0}{{(x^{2})}^{2} - 16}$

Schritt 3.2.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{0}{{(x^{2})}^{2} - 4^{2}}$

Schritt 3.2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 4$ .

$\frac{0}{(x^{2} + 4) (x^{2} - 4)}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache.

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Schritt 3.2.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{0}{(x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2})}$

Schritt 3.2.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{0}{(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 3.3

Dividiere $0$ durch $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

$0$