Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt{x} - 1}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} - 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - 1}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - 1}$

Schritt 1.1.2.1.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - 1}$

Schritt 1.1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - 1}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{1} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - 1}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - 1}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - 1}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - 1}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 1.1.3.1.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 1.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{1} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt{x} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt[3]{x} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

Schritt 1.3.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

Schritt 1.3.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

Schritt 1.3.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

Schritt 1.3.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

Schritt 1.3.3.6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

Schritt 1.3.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

Schritt 1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

Schritt 1.3.5

Vereinfache.

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Schritt 1.3.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

Schritt 1.3.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.5.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

Schritt 1.3.5.2.2

Addiere $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{x} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 1.3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Schritt 1.3.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 1.3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 1.3.7.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 1.3.7.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 1.3.7.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 1.3.7.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.7.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 1.3.7.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 1.3.7.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 1.3.8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0}$

Schritt 1.3.9

Vereinfache.

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Schritt 1.3.9.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Schritt 1.3.9.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.9.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Schritt 1.3.9.2.2

Addiere $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.5

Schreibe $x^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x}$ um.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (2 \sqrt{x})$

Schritt 1.6

Vereinige Faktoren.

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Schritt 1.6.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} \sqrt{x}$

Schritt 1.6.2

Kombiniere $\frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ und $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 \sqrt{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $\frac{2}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2}{3} lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.4

Ziehe den Exponenten $\frac{2}{3}$ von $x^{\frac{2}{3}}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}{{(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Kombinieren.

$\frac{2 \sqrt{1}}{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2}{3 \cdot 1}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{2}{3}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2}{3}$

Dezimalform:

$0.\overline{6}$