Analysis Beispiele

$lim_{t \to 0} \frac{2}{t} - \frac{2}{t^{2} + t}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Um $\frac{2}{t}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{t^{2} + t}{t^{2} + t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2}{t} \cdot \frac{t^{2} + t}{t^{2} + t} - \frac{2}{t^{2} + t}$

Schritt 1.2

Um $- \frac{2}{t^{2} + t}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{t}{t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2}{t} \cdot \frac{t^{2} + t}{t^{2} + t} - \frac{2}{t^{2} + t} \cdot \frac{t}{t}$

Schritt 1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $t (t^{2} + t)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{t}$ mit $\frac{t^{2} + t}{t^{2} + t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 (t^{2} + t)}{t (t^{2} + t)} - \frac{2}{t^{2} + t} \cdot \frac{t}{t}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $\frac{2}{t^{2} + t}$ mit $\frac{t}{t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 (t^{2} + t)}{t (t^{2} + t)} - \frac{2 t}{(t^{2} + t) t}$

Schritt 1.3.3

Stelle die Faktoren von $(t^{2} + t) t$ um.

$lim_{t \to 0} \frac{2 (t^{2} + t)}{t (t^{2} + t)} - \frac{2 t}{t (t^{2} + t)}$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{t \to 0} \frac{2 (t^{2} + t) - 2 t}{t (t^{2} + t)}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{t \to 0} 2 (t^{2} + t) - 2 t}{lim_{t \to 0} t (t^{2} + t)}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{t \to 0} 2 (t^{2} + t) - lim_{t \to 0} 2 t}{lim_{t \to 0} t (t^{2} + t)}$

Schritt 2.1.2.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$\frac{2 lim_{t \to 0} t^{2} + t - lim_{t \to 0} 2 t}{lim_{t \to 0} t (t^{2} + t)}$

Schritt 2.1.2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $0$ annähert.

$\frac{2 (lim_{t \to 0} t^{2} + lim_{t \to 0} t) - lim_{t \to 0} 2 t}{lim_{t \to 0} t (t^{2} + t)}$

Schritt 2.1.2.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $t^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{2 ({(lim_{t \to 0} t)}^{2} + lim_{t \to 0} t) - lim_{t \to 0} 2 t}{lim_{t \to 0} t (t^{2} + t)}$

Schritt 2.1.2.5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$\frac{2 ({(lim_{t \to 0} t)}^{2} + lim_{t \to 0} t) - 2 lim_{t \to 0} t}{lim_{t \to 0} t (t^{2} + t)}$

Schritt 2.1.2.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $t$ .

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Schritt 2.1.2.6.1

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $0$ für $t$ .

$\frac{2 (0^{2} + lim_{t \to 0} t) - 2 lim_{t \to 0} t}{lim_{t \to 0} t (t^{2} + t)}$

Schritt 2.1.2.6.2

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $0$ für $t$ .

$\frac{2 (0^{2} + 0) - 2 lim_{t \to 0} t}{lim_{t \to 0} t (t^{2} + t)}$

Schritt 2.1.2.6.3

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $0$ für $t$ .

$\frac{2 (0^{2} + 0) - 2 \cdot 0}{lim_{t \to 0} t (t^{2} + t)}$

Schritt 2.1.2.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.7.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{2 (0 + 0) - 2 \cdot 0}{lim_{t \to 0} t (t^{2} + t)}$

Schritt 2.1.2.7.1.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 2 \cdot 0}{lim_{t \to 0} t (t^{2} + t)}$

Schritt 2.1.2.7.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0 - 2 \cdot 0}{lim_{t \to 0} t (t^{2} + t)}$

Schritt 2.1.2.7.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{t \to 0} t (t^{2} + t)}$

Schritt 2.1.2.7.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t (t^{2} + t)}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t \cdot lim_{t \to 0} t^{2} + t}$

Schritt 2.1.3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t \cdot (lim_{t \to 0} t^{2} + lim_{t \to 0} t)}$

Schritt 2.1.3.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $t^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t \cdot ({(lim_{t \to 0} t)}^{2} + lim_{t \to 0} t)}$

Schritt 2.1.3.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $t$ .

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Schritt 2.1.3.4.1

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $0$ für $t$ .

$\frac{0}{0 \cdot ({(lim_{t \to 0} t)}^{2} + lim_{t \to 0} t)}$

Schritt 2.1.3.4.2

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $0$ für $t$ .

$\frac{0}{0 \cdot (0^{2} + lim_{t \to 0} t)}$

Schritt 2.1.3.4.3

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $0$ für $t$ .

$\frac{0}{0 \cdot (0^{2} + 0)}$

Schritt 2.1.3.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.3.5.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot (0 + 0)}$

Schritt 2.1.3.5.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Schritt 2.1.3.5.3

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.5.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.6

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{t \to 0} \frac{2 (t^{2} + t) - 2 t}{t (t^{2} + t)} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [2 (t^{2} + t) - 2 t]}{\frac{d}{d t} [t (t^{2} + t)]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [2 (t^{2} + t) - 2 t]}{\frac{d}{d t} [t (t^{2} + t)]}$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 (t^{2} + t) - 2 t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [2 (t^{2} + t)] + \frac{d}{d t} [- 2 t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [2 (t^{2} + t)] + \frac{d}{d t} [- 2 t]}{\frac{d}{d t} [t (t^{2} + t)]}$

Schritt 2.3.3

Berechne $\frac{d}{d t} [2 (t^{2} + t)]$ .

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Schritt 2.3.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 (t^{2} + t)$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t^{2} + t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 \frac{d}{d t} [t^{2} + t] + \frac{d}{d t} [- 2 t]}{\frac{d}{d t} [t (t^{2} + t)]}$

Schritt 2.3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{2} + t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- 2 t]}{\frac{d}{d t} [t (t^{2} + t)]}$

Schritt 2.3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 (2 t + \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- 2 t]}{\frac{d}{d t} [t (t^{2} + t)]}$

Schritt 2.3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 (2 t + 1) + \frac{d}{d t} [- 2 t]}{\frac{d}{d t} [t (t^{2} + t)]}$

Schritt 2.3.4

Berechne $\frac{d}{d t} [- 2 t]$ .

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Schritt 2.3.4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 2 t$ nach $t$ gleich $- 2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 (2 t + 1) - 2 \frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [t (t^{2} + t)]}$

Schritt 2.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 (2 t + 1) - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d t} [t (t^{2} + t)]}$

Schritt 2.3.4.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 (2 t + 1) - 2}{\frac{d}{d t} [t (t^{2} + t)]}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{t \to 0} \frac{2 (2 t) + 2 \cdot 1 - 2}{\frac{d}{d t} [t (t^{2} + t)]}$

Schritt 2.3.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 t + 2 \cdot 1 - 2}{\frac{d}{d t} [t (t^{2} + t)]}$

Schritt 2.3.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 t + 2 - 2}{\frac{d}{d t} [t (t^{2} + t)]}$

Schritt 2.3.5.2.3

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 t + 0}{\frac{d}{d t} [t (t^{2} + t)]}$

Schritt 2.3.5.2.4

Addiere $4 t$ und $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 t}{\frac{d}{d t} [t (t^{2} + t)]}$

Schritt 2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t$ und $g (t) = t^{2} + t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 t}{t \frac{d}{d t} [t^{2} + t] + (t^{2} + t) \frac{d}{d t} [t]}$

Schritt 2.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{2} + t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 t}{t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t]) + (t^{2} + t) \frac{d}{d t} [t]}$

Schritt 2.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 t}{t (2 t + \frac{d}{d t} [t]) + (t^{2} + t) \frac{d}{d t} [t]}$

Schritt 2.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 t}{t (2 t + 1) + (t^{2} + t) \frac{d}{d t} [t]}$

Schritt 2.3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 t}{t (2 t + 1) + (t^{2} + t) \cdot 1}$

Schritt 2.3.11

Mutltipliziere $t^{2} + t$ mit $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 t}{t (2 t + 1) + t^{2} + t}$

Schritt 2.3.12

Vereinfache.

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Schritt 2.3.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{t \to 0} \frac{4 t}{t (2 t) + t \cdot 1 + t^{2} + t}$

Schritt 2.3.12.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.12.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 t}{2 (t^{1} t) + t \cdot 1 + t^{2} + t}$

Schritt 2.3.12.2.2

Potenziere $t$ mit $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 t}{2 (t^{1} t^{1}) + t \cdot 1 + t^{2} + t}$

Schritt 2.3.12.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{t \to 0} \frac{4 t}{2 t^{1 + 1} + t \cdot 1 + t^{2} + t}$

Schritt 2.3.12.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 t}{2 t^{2} + t \cdot 1 + t^{2} + t}$

Schritt 2.3.12.2.5

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 t}{2 t^{2} + t + t^{2} + t}$

Schritt 2.3.12.2.6

Addiere $2 t^{2}$ und $t^{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 t}{3 t^{2} + t + t}$

Schritt 2.3.12.2.7

Addiere $t$ und $t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 t}{3 t^{2} + 2 t}$

Schritt 3

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$4 lim_{t \to 0} \frac{t}{3 t^{2} + 2 t}$

Schritt 4

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$4 \frac{lim_{t \to 0} t}{lim_{t \to 0} 3 t^{2} + 2 t}$

Schritt 4.1.2

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $0$ für $t$ .

$4 \frac{0}{lim_{t \to 0} 3 t^{2} + 2 t}$

Schritt 4.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $0$ annähert.

$4 \frac{0}{lim_{t \to 0} 3 t^{2} + lim_{t \to 0} 2 t}$

Schritt 4.1.3.2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$4 \frac{0}{3 lim_{t \to 0} t^{2} + lim_{t \to 0} 2 t}$

Schritt 4.1.3.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $t^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$4 \frac{0}{3 {(lim_{t \to 0} t)}^{2} + lim_{t \to 0} 2 t}$

Schritt 4.1.3.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$4 \frac{0}{3 {(lim_{t \to 0} t)}^{2} + 2 lim_{t \to 0} t}$

Schritt 4.1.3.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $t$ .

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Schritt 4.1.3.5.1

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $0$ für $t$ .

$4 \frac{0}{3 \cdot 0^{2} + 2 lim_{t \to 0} t}$

Schritt 4.1.3.5.2

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $0$ für $t$ .

$4 \frac{0}{3 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0}$

Schritt 4.1.3.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1.3.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.3.6.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 \frac{0}{3 \cdot 0 + 2 \cdot 0}$

Schritt 4.1.3.6.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$4 \frac{0}{0 + 2 \cdot 0}$

Schritt 4.1.3.6.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$4 \frac{0}{0 + 0}$

Schritt 4.1.3.6.2

Addiere $0$ und $0$ .

$4 (\frac{0}{0})$

Schritt 4.1.3.6.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$4 (\frac{0}{0})$

Schritt 4.1.3.7

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$4 (\frac{0}{0})$

Schritt 4.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$4 (\frac{0}{0})$

Schritt 4.2

$lim_{t \to 0} \frac{t}{3 t^{2} + 2 t} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [3 t^{2} + 2 t]}$

Schritt 4.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 4.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$4 lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [3 t^{2} + 2 t]}$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d t} [3 t^{2} + 2 t]}$

Schritt 4.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 t^{2} + 2 t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [2 t]$ .

$4 lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [2 t]}$

Schritt 4.3.4

Berechne $\frac{d}{d t} [3 t^{2}]$ .

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Schritt 4.3.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t^{2}$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$4 lim_{t \to 0} \frac{1}{3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [2 t]}$

Schritt 4.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 lim_{t \to 0} \frac{1}{3 \cdot 2 t + \frac{d}{d t} [2 t]}$

Schritt 4.3.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$4 lim_{t \to 0} \frac{1}{6 t + \frac{d}{d t} [2 t]}$

Schritt 4.3.5

Berechne $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

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Schritt 4.3.5.1

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 lim_{t \to 0} \frac{1}{6 t + 2 \frac{d}{d t} [t]}$

Schritt 4.3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 lim_{t \to 0} \frac{1}{6 t + 2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$4 lim_{t \to 0} \frac{1}{6 t + 2}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $0$ annähert.

$4 \frac{lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} 6 t + 2}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $0$ annähert.

$4 \frac{1}{lim_{t \to 0} 6 t + 2}$

Schritt 5.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $0$ annähert.

$4 \frac{1}{lim_{t \to 0} 6 t + lim_{t \to 0} 2}$

Schritt 5.4

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$4 \frac{1}{6 lim_{t \to 0} t + lim_{t \to 0} 2}$

Schritt 5.5

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $0$ annähert.

$4 \frac{1}{6 lim_{t \to 0} t + 2}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $0$ für $t$ .

$4 \frac{1}{6 \cdot 0 + 2}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$4 \frac{1}{0 + 2}$

Schritt 7.1.2

Addiere $0$ und $2$ .

$4 (\frac{1}{2})$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 (2) \frac{1}{2}$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 2 \frac{1}{2}$

Schritt 7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2$