Analysis Beispiele

$lim_{t \to - 2} \frac{t + 2}{t^{2} - 4}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{t \to - 2} t + 2}{lim_{t \to - 2} t^{2} - 4}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $- 2$ annähert.

$\frac{lim_{t \to - 2} t + lim_{t \to - 2} 2}{lim_{t \to - 2} t^{2} - 4}$

Schritt 1.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $- 2$ annähert.

$\frac{lim_{t \to - 2} t + 2}{lim_{t \to - 2} t^{2} - 4}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $- 2$ für $t$ .

$\frac{- 2 + 2}{lim_{t \to - 2} t^{2} - 4}$

Schritt 1.1.2.3

Addiere $- 2$ und $2$ .

$\frac{0}{lim_{t \to - 2} t^{2} - 4}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $- 2$ annähert.

$\frac{0}{lim_{t \to - 2} t^{2} - lim_{t \to - 2} 4}$

Schritt 1.1.3.1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $t^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{t \to - 2} t)}^{2} - lim_{t \to - 2} 4}$

Schritt 1.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $- 2$ annähert.

$\frac{0}{{(lim_{t \to - 2} t)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $- 2$ für $t$ .

$\frac{0}{{(- 2)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{t \to - 2} \frac{t + 2}{t^{2} - 4} = lim_{t \to - 2} \frac{\frac{d}{d t} [t + 2]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - 4]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{t \to - 2} \frac{\frac{d}{d t} [t + 2]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - 4]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t + 2$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$lim_{t \to - 2} \frac{\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - 4]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{t \to - 2} \frac{1 + \frac{d}{d t} [2]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - 4]}$

Schritt 1.3.4

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$lim_{t \to - 2} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d t} [t^{2} - 4]}$

Schritt 1.3.5

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{t \to - 2} \frac{1}{\frac{d}{d t} [t^{2} - 4]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{2} - 4$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4]$ .

$lim_{t \to - 2} \frac{1}{\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4]}$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{t \to - 2} \frac{1}{2 t + \frac{d}{d t} [- 4]}$

Schritt 1.3.8

Da $- 4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$lim_{t \to - 2} \frac{1}{2 t + 0}$

Schritt 1.3.9

Addiere $2 t$ und $0$ .

$lim_{t \to - 2} \frac{1}{2 t}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{t \to - 2} \frac{1}{t}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $- 2$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{t \to - 2} 1}{lim_{t \to - 2} t}$

Schritt 2.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $- 2$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{t \to - 2} t}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $- 2$ für $t$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{- 2}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.2

Multipliziere $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ .

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{1}{4}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{4}$

Dezimalform:

$- 0.25$