Analysis Beispiele

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} 3 x^{2} (2 x - 1)$

Schritt 1

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} (2 x - 1)$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \frac{1}{2}$ annähert.

$3 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot lim_{x \to - \frac{1}{2}} 2 x - 1$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$3 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2} \cdot lim_{x \to - \frac{1}{2}} 2 x - 1$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \frac{1}{2}$ annähert.

$3 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2} \cdot (lim_{x \to - \frac{1}{2}} 2 x - lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1)$

Schritt 5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2} \cdot (2 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x - lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1)$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \frac{1}{2}$ annähert.

$3 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2} \cdot (2 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1)$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- \frac{1}{2}$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- \frac{1}{2}$ für $x$ .

$3 {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot (2 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1)$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- \frac{1}{2}$ für $x$ .

$3 {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot (2 (- \frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 8.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) \cdot (2 (- \frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)$

Schritt 8.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$3 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) \cdot (2 (- \frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)$

Schritt 8.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$3 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) \cdot (2 (- \frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$3 \frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot (2 (- \frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)$

Schritt 8.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$3 \frac{1}{2^{2}} \cdot (2 (- \frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)$

Schritt 8.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$3 (\frac{1}{4}) \cdot (2 (- \frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)$

Schritt 8.6

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{3}{4} \cdot (2 (- \frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)$

Schritt 8.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.7.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$\frac{3}{4} \cdot (2 (\frac{- 1}{2}) - 1 \cdot 1)$

Schritt 8.7.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{4} \cdot (2 (\frac{- 1}{2}) - 1 \cdot 1)$

Schritt 8.7.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{4} \cdot (- 1 - 1 \cdot 1)$

Schritt 8.7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{3}{4} \cdot (- 1 - 1)$

Schritt 8.8

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$\frac{3}{4} \cdot - 2$

Schritt 8.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.9.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{3}{2 (2)} \cdot - 2$

Schritt 8.9.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Schritt 8.9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Schritt 8.9.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{2} \cdot - 1$

Schritt 8.10

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{2}$

Schritt 8.11

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{- 3}{2}$

Schritt 8.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{2}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{3}{2}$

Dezimalform:

$- 1.5$