Analysis Beispiele

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1 - 5 x^{3}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \frac{1}{2}$ annähert.

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1 - lim_{x \to - \frac{1}{2}} 5 x^{3}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \frac{1}{2}$ annähert.

$1 - lim_{x \to - \frac{1}{2}} 5 x^{3}$

Schritt 1.3

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$1 - 5 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{3}$

Schritt 1.4

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$1 - 5 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{3}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- \frac{1}{2}$ für $x$ .

$1 - 5 {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$1 - 5 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Schritt 3.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$1 - 5 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}})$

Schritt 3.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$1 - 5 (- \frac{1^{3}}{2^{3}})$

Schritt 3.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - 5 (- \frac{1}{2^{3}})$

Schritt 3.1.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$1 - 5 (- \frac{1}{8})$

Schritt 3.1.5

Multipliziere $- 5 (- \frac{1}{8})$ .

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Schritt 3.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$1 + 5 (\frac{1}{8})$

Schritt 3.1.5.2

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{8}$ .

$1 + \frac{5}{8}$

Schritt 3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8}{8} + \frac{5}{8}$

Schritt 3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8 + 5}{8}$

Schritt 3.4

Addiere $8$ und $5$ .

$\frac{13}{8}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{13}{8}$

Dezimalform:

$1.625$