Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{π}{6}} \frac{x}{\sin (3 x)}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{6}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{6}} x}{lim_{x \to \frac{π}{6}} \sin (3 x)}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{6}} x}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} 3 x)}$

Schritt 3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{6}} x}{\sin (3 lim_{x \to \frac{π}{6}} x)}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{π}{6}$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{6}$ für $x$ .

$\frac{\frac{π}{6}}{\sin (3 lim_{x \to \frac{π}{6}} x)}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{6}$ für $x$ .

$\frac{\frac{π}{6}}{\sin (3 \frac{π}{6})}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Separiere Brüche.

$\frac{\frac{π}{6}}{1} \cdot \frac{1}{\sin (3 \frac{π}{6})}$

Schritt 5.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (3 \frac{π}{6})}$ nach $\csc (3 \frac{π}{6})$ um.

$\frac{\frac{π}{6}}{1} \csc (3 \frac{π}{6})$

Schritt 5.3

Dividiere $\frac{π}{6}$ durch $1$ .

$\frac{π}{6} \csc (3 \frac{π}{6})$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{π}{6} \csc (3 \frac{π}{3 (2)})$

Schritt 5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π}{6} \csc (3 \frac{π}{3 \cdot 2})$

Schritt 5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{6} \csc (\frac{π}{2})$

Schritt 5.5

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$\frac{π}{6} \cdot 1$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $\frac{π}{6}$ mit $1$ .

$\frac{π}{6}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{π}{6}$

Dezimalform:

$0.52359877 \dots$