Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{1 - 2 \cos (x)}{π - 3 x}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} 1 - 2 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{3}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Schritt 1.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{3}$ annähert.

$\frac{1 - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Schritt 1.1.2.1.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1 - 2 lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Schritt 1.1.2.1.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1 - 2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{3}$ für $x$ .

$\frac{1 - 2 \cos (\frac{π}{3})}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1 - 2 (\frac{1}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{1 + 2 (- 1) \frac{1}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{3}$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 x}$

Schritt 1.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $π$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{3}$ annähert.

$\frac{0}{π - lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 x}$

Schritt 1.1.3.1.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{π - 3 lim_{x \to \frac{π}{3}} x}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{3}$ für $x$ .

$\frac{0}{π - 3 \frac{π}{3}}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{0}{π + 3 (- 1) \frac{π}{3}}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0}{π + 3 \cdot - 1 \frac{π}{3}}$

Schritt 1.1.3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0}{π - π}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $π$ von $π$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{1 - 2 \cos (x)}{π - 3 x} = lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 2 \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Schritt 1.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \cos (x)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{0 - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Schritt 1.3.4.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{0 - 2 (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{0 + 2 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Schritt 1.3.5

Addiere $0$ und $2 \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $π - 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Schritt 1.3.7

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Schritt 1.3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Schritt 1.3.8.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{0 - 3 \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{0 - 3 \cdot 1}$

Schritt 1.3.8.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{0 - 3}$

Schritt 1.3.9

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{- 3}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $\frac{2}{- 3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2}{- 3} lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (x)$

Schritt 2.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{2}{- 3} \sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{3}$ für $x$ .

$\frac{2}{- 3} \sin (\frac{π}{3})$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{3} \sin (\frac{π}{3})$

Schritt 4.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{3}$ in den Zähler.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{3} \sqrt{3}$

Schritt 4.4

Kombiniere $\frac{- 1}{3}$ und $\sqrt{3}$ .

$\frac{- \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$

Dezimalform:

$- 0.57735026 \dots$