Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{7 - 7 \tan (x)}{\sin (x) - \cos (x)}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 7 - 7 \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{4}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 7 - lim_{x \to \frac{π}{4}} 7 \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

Schritt 1.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{4}$ annähert.

$\frac{7 - lim_{x \to \frac{π}{4}} 7 \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

Schritt 1.1.2.1.3

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{7 - 7 lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

Schritt 1.1.2.1.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{7 - 7 \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$\frac{7 - 7 \tan (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{7 - 7 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$\frac{7 - 7}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $7$ von $7$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{4}$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}$

Schritt 1.1.3.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}$

Schritt 1.1.3.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Schritt 1.1.3.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.3.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$\frac{0}{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Schritt 1.1.3.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$\frac{0}{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.3.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.5.1.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.3.5.1.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Schritt 1.1.3.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 1.1.3.5.3

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $\sqrt{2}$ .

$\frac{0}{\frac{0}{2}}$

Schritt 1.1.3.5.4

Dividiere $0$ durch $2$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.5.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.6

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{7 - 7 \tan (x)}{\sin (x) - \cos (x)} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [7 - 7 \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [7 - 7 \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 - 7 \tan (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 7 \tan (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 7 \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

Schritt 1.3.3

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 7 \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 7 \tan (x)]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 \tan (x)$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{0 - 7 \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

Schritt 1.3.4.2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{0 - 7 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

Schritt 1.3.5

Vereinfache.

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Schritt 1.3.5.1

Subtrahiere $7 \sec^{2} (x)$ von $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 7 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

Schritt 1.3.5.2

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 7 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

Schritt 1.3.5.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 7 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

Schritt 1.3.5.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 7 \frac{1}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

Schritt 1.3.5.5

Kombiniere $- 7$ und $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{- 7}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

Schritt 1.3.5.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \frac{7}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (x) - \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \frac{7}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Schritt 1.3.7

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \frac{7}{\cos^{2} (x)}}{\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Schritt 1.3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Schritt 1.3.8.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \frac{7}{\cos^{2} (x)}}{\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Schritt 1.3.8.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \frac{7}{\cos^{2} (x)}}{\cos (x) - - \sin (x)}$

Schritt 1.3.8.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \frac{7}{\cos^{2} (x)}}{\cos (x) + 1 \sin (x)}$

Schritt 1.3.8.4

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \frac{7}{\cos^{2} (x)}}{\cos (x) + \sin (x)}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} - \frac{7}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}$ mit $\frac{7}{\cos^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} - \frac{7}{(\cos (x) + \sin (x)) \cos^{2} (x)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{7}{(\cos (x) + \sin (x)) \cos^{2} (x)}$

Schritt 2.2

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 7 lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) \cos^{2} (x)}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{4}$ annähert.

$- 7 \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} (\cos (x) + \sin (x)) \cos^{2} (x)}$

Schritt 2.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{4}$ annähert.

$- 7 \frac{1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} (\cos (x) + \sin (x)) \cos^{2} (x)}$

Schritt 2.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{4}$ annähert.

$- 7 \frac{1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + \sin (x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)}$

Schritt 2.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{4}$ annähert.

$- 7 \frac{1}{(lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)}$

Schritt 2.7

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$- 7 \frac{1}{(\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)}$

Schritt 2.8

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$- 7 \frac{1}{(\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)}$

Schritt 2.9

Ziehe den Exponenten $2$ von $\cos^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$- 7 \frac{1}{(\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot {(lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x))}^{2}}$

Schritt 2.10

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$- 7 \frac{1}{(\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$- 7 \frac{1}{(\cos (\frac{π}{4}) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$- 7 \frac{1}{(\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$- 7 \frac{1}{(\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})) \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Multipliziere mit $1$ .

$- 7 \frac{1}{(\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})) \cdot (\cos^{2} (\frac{π}{4}) \cdot 1)}$

Schritt 4.2

Separiere Brüche.

$- 7 (\frac{1}{(\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})) \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (\frac{π}{4})})$

Schritt 4.3

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{π}{4})}$ nach $\sec^{2} (\frac{π}{4})$ um.

$- 7 (\frac{1}{(\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})) \cdot (1)} \sec^{2} (\frac{π}{4}))$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})$ mit $1$ .

$- 7 (\frac{1}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})} \sec^{2} (\frac{π}{4}))$

Schritt 4.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.5.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 7 (\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{π}{4})} \sec^{2} (\frac{π}{4}))$

Schritt 4.5.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 7 (\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}} \sec^{2} (\frac{π}{4}))$

Schritt 4.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 7 (\frac{1}{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}} \sec^{2} (\frac{π}{4}))$

Schritt 4.5.4

Schreibe $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.5.4.1

Addiere $\sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$- 7 (\frac{1}{\frac{2 \sqrt{2}}{2}} \sec^{2} (\frac{π}{4}))$

Schritt 4.5.4.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.5.4.2.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{2 \sqrt{2}}{2}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 7 (\frac{1}{\frac{2 \sqrt{2}}{2}} \sec^{2} (\frac{π}{4}))$

Schritt 4.5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$- 7 (\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{1}} \sec^{2} (\frac{π}{4}))$

Schritt 4.5.4.2.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$- 7 (\frac{1}{\sqrt{2}} \sec^{2} (\frac{π}{4}))$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 7 (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \sec^{2} (\frac{π}{4}))$

Schritt 4.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \sec^{2} (\frac{π}{4}))$

Schritt 4.7.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} \sec^{2} (\frac{π}{4}))$

Schritt 4.7.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} \sec^{2} (\frac{π}{4}))$

Schritt 4.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \sec^{2} (\frac{π}{4}))$

Schritt 4.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \sec^{2} (\frac{π}{4}))$

Schritt 4.7.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sec^{2} (\frac{π}{4}))$

Schritt 4.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sec^{2} (\frac{π}{4}))$

Schritt 4.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \sec^{2} (\frac{π}{4}))$

Schritt 4.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \sec^{2} (\frac{π}{4}))$

Schritt 4.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2^{1}} \sec^{2} (\frac{π}{4}))$

Schritt 4.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} \sec^{2} (\frac{π}{4}))$

Schritt 4.8

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{4})$ ist $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2})$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2})$

Schritt 4.10

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.10.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2})$

Schritt 4.10.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2})$

Schritt 4.10.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2})$

Schritt 4.10.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2})$

Schritt 4.10.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2})$

Schritt 4.10.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.10.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2})$

Schritt 4.10.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2})$

Schritt 4.10.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2})$

Schritt 4.10.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.10.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2})$

Schritt 4.10.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2})$

Schritt 4.10.6.5

Berechne den Exponenten.

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.11.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} {\sqrt{2}}^{2})$

Schritt 4.12

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.12.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})$

Schritt 4.12.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})$

Schritt 4.12.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}})$

Schritt 4.12.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.12.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}})$

Schritt 4.12.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2^{1})$

Schritt 4.12.5

Berechne den Exponenten.

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2)$

Schritt 4.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.13.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2)$

Schritt 4.13.2

Forme den Ausdruck um.

$- 7 \sqrt{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- 7 \sqrt{2}$

Dezimalform:

$- 9.89949493 \dots$