Analysis Beispiele

$lim_{h \to 0} \frac{h}{\sin (3 h)}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} \sin (3 h)}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} \sin (3 h)}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{0}{\sin (lim_{h \to 0} 3 h)}$

Schritt 1.1.3.1.2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{0}{\sin (3 lim_{h \to 0} h)}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{0}{\sin (3 \cdot 0)}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Schritt 1.1.3.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{h \to 0} \frac{h}{\sin (3 h)} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h]}{\frac{d}{d h} [\sin (3 h)]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h]}{\frac{d}{d h} [\sin (3 h)]}$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d h} [\sin (3 h)]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ ist $f' (g (h)) g' (h)$ , mit $f (h) = \sin (h)$ und $g (h) = 3 h$ .

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Schritt 1.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d h} [3 h]}$

Schritt 1.3.3.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos (u) \frac{d}{d h} [3 h]}$

Schritt 1.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $3 h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos (3 h) \frac{d}{d h} [3 h]}$

Schritt 1.3.4

Da $3$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $3 h$ nach $h$ gleich $3 \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos (3 h) (3 \frac{d}{d h} [h])}$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos (3 h) (3 \cdot 1)}$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos (3 h) \cdot 3}$

Schritt 1.3.7

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\cos (3 h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{3 \cos (3 h)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $\frac{1}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{1}{3} lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos (3 h)}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \cos (3 h)}$

Schritt 2.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} \cos (3 h)}$

Schritt 2.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\cos (lim_{h \to 0} 3 h)}$

Schritt 2.5

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\cos (3 lim_{h \to 0} h)}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\cos (3 \cdot 0)}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Wandle von $\frac{1}{\cos (3 \cdot 0)}$ nach $\sec (3 \cdot 0)$ um.

$\frac{1}{3} \sec (3 \cdot 0)$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{1}{3} \sec (0)$

Schritt 4.3

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{3}$

Dezimalform:

$0.\overline{3}$