Analysis Beispiele

$lim_{x \to 9} \frac{x^{2} - 10 x + 9}{\sqrt{x} - 3}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 9} x^{2} - 10 x + 9}{lim_{x \to 9} \sqrt{x} - 3}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $9$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 9} x^{2} - lim_{x \to 9} 10 x + lim_{x \to 9} 9}{lim_{x \to 9} \sqrt{x} - 3}$

Schritt 1.1.2.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 9} x)}^{2} - lim_{x \to 9} 10 x + lim_{x \to 9} 9}{lim_{x \to 9} \sqrt{x} - 3}$

Schritt 1.1.2.3

Ziehe den Term $10$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 9} x)}^{2} - 10 lim_{x \to 9} x + lim_{x \to 9} 9}{lim_{x \to 9} \sqrt{x} - 3}$

Schritt 1.1.2.4

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $9$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 9} x)}^{2} - 10 lim_{x \to 9} x + 9}{lim_{x \to 9} \sqrt{x} - 3}$

Schritt 1.1.2.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $9$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $9$ für $x$ .

$\frac{9^{2} - 10 lim_{x \to 9} x + 9}{lim_{x \to 9} \sqrt{x} - 3}$

Schritt 1.1.2.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $9$ für $x$ .

$\frac{9^{2} - 10 \cdot 9 + 9}{lim_{x \to 9} \sqrt{x} - 3}$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.6.1.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$\frac{81 - 10 \cdot 9 + 9}{lim_{x \to 9} \sqrt{x} - 3}$

Schritt 1.1.2.6.1.2

Mutltipliziere $- 10$ mit $9$ .

$\frac{81 - 90 + 9}{lim_{x \to 9} \sqrt{x} - 3}$

Schritt 1.1.2.6.2

Subtrahiere $90$ von $81$ .

$\frac{- 9 + 9}{lim_{x \to 9} \sqrt{x} - 3}$

Schritt 1.1.2.6.3

Addiere $- 9$ und $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} \sqrt{x} - 3}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $9$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 9} \sqrt{x} - lim_{x \to 9} 3}$

Schritt 1.1.3.1.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 9} x} - lim_{x \to 9} 3}$

Schritt 1.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $9$ annähert.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 9} x} - 1 \cdot 3}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $9$ für $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{9} - 1 \cdot 3}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{0}{\sqrt{3^{2}} - 1 \cdot 3}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Schritt 1.1.3.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 9} \frac{x^{2} - 10 x + 9}{\sqrt{x} - 3} = lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 9]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 3]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 9]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 3]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 10 x + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [9]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 3]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [9]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 3]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10 x$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 3]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 3]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $- 10$ mit $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 x - 10 + \frac{d}{d x} [9]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 3]}$

Schritt 1.3.5

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 x - 10 + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 3]}$

Schritt 1.3.6

Addiere $2 x - 10$ und $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 x - 10}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 3]}$

Schritt 1.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{x} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 x - 10}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Schritt 1.3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Schritt 1.3.8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 9} \frac{2 x - 10}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Schritt 1.3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 x - 10}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Schritt 1.3.8.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 x - 10}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Schritt 1.3.8.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 x - 10}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Schritt 1.3.8.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 9} \frac{2 x - 10}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Schritt 1.3.8.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.8.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 x - 10}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Schritt 1.3.8.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 x - 10}{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Schritt 1.3.8.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 9} \frac{2 x - 10}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Schritt 1.3.9

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 x - 10}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0}$

Schritt 1.3.10

Vereinfache.

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Schritt 1.3.10.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 x - 10}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Schritt 1.3.10.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.10.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 x - 10}{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Schritt 1.3.10.2.2

Addiere $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 x - 10}{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 9} (2 x - 10) (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.5

Schreibe $x^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x}$ um.

$lim_{x \to 9} (2 x - 10) (2 \sqrt{x})$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to 9} (2 x - 10) \sqrt{x}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $9$ annähert.

$2 lim_{x \to 9} 2 x - 10 \cdot lim_{x \to 9} \sqrt{x}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $9$ annähert.

$2 (lim_{x \to 9} 2 x - lim_{x \to 9} 10) \cdot lim_{x \to 9} \sqrt{x}$

Schritt 2.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 (2 lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} 10) \cdot lim_{x \to 9} \sqrt{x}$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $10$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $9$ annähert.

$2 (2 lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 10) \cdot lim_{x \to 9} \sqrt{x}$

Schritt 2.6

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$2 (2 lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 10) \cdot \sqrt{lim_{x \to 9} x}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $9$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $9$ für $x$ .

$2 (2 \cdot 9 - 1 \cdot 10) \cdot \sqrt{lim_{x \to 9} x}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $9$ für $x$ .

$2 (2 \cdot 9 - 1 \cdot 10) \cdot \sqrt{9}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$2 (18 - 1 \cdot 10) \cdot \sqrt{9}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$2 (18 - 10) \cdot \sqrt{9}$

Schritt 4.2

Subtrahiere $10$ von $18$ .

$2 \cdot 8 \cdot \sqrt{9}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$16 \cdot \sqrt{9}$

Schritt 4.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$16 \cdot \sqrt{3^{2}}$

Schritt 4.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$16 \cdot 3$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$48$