Analysis Beispiele

Berechne den Grenzwert Grenzwert von ((1-cos(h))^2)/h, wenn h gegen 0 geht
Schritt 1
Wende die Regel von de L’Hospital an.
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Schritt 1.1
Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.
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Schritt 1.1.1
Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.
Schritt 1.1.2
Berechne den Grenzwert des Zählers.
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Schritt 1.1.2.1
Berechne den Grenzwert.
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Schritt 1.1.2.1.1
Ziehe den Exponenten von aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.
Schritt 1.1.2.1.2
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 1.1.2.1.3
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 1.1.2.1.4
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.
Schritt 1.1.2.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 1.1.2.3
Vereinfache die Lösung.
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Schritt 1.1.2.3.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.1.2.3.1.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 1.1.2.3.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.2.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.1.2.3.3
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 1.1.3
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 1.1.4
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 1.2
Da unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.
Schritt 1.3
Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.
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Schritt 1.3.1
Differenziere den Zähler und Nenner.
Schritt 1.3.2
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
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Schritt 1.3.2.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 1.3.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.3.2.3
Ersetze alle durch .
Schritt 1.3.3
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.3.4
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.3.5
Addiere und .
Schritt 1.3.6
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.3.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.8
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 1.3.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.10
Vereinfache.
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Schritt 1.3.10.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.3.10.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.3.10.3
Vereine die Terme
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Schritt 1.3.10.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.10.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.10.4
Stelle die Terme um.
Schritt 1.3.11
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.4
Dividiere durch .
Schritt 2
Berechne den Grenzwert.
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Schritt 2.1
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 2.2
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 2.3
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 2.4
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.
Schritt 2.5
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.
Schritt 2.6
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 2.7
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.
Schritt 3
Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von für alle .
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Schritt 3.1
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 3.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 3.3
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 4
Vereinfache die Lösung.
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Schritt 4.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 4.1.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 4.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.3
Der genau Wert von ist .
Schritt 4.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.5
Der genau Wert von ist .
Schritt 4.1.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2
Addiere und .