Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} (1 + \sqrt[3]{x}) (2 - 6 x^{2} + x^{3})$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} 1 + \sqrt[3]{x} \cdot lim_{x \to 8} 2 - 6 x^{2} + x^{3}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$(lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x}) \cdot lim_{x \to 8} 2 - 6 x^{2} + x^{3}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$(1 + lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x}) \cdot lim_{x \to 8} 2 - 6 x^{2} + x^{3}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot lim_{x \to 8} 2 - 6 x^{2} + x^{3}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (lim_{x \to 8} 2 - lim_{x \to 8} 6 x^{2} + lim_{x \to 8} x^{3})$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (2 - lim_{x \to 8} 6 x^{2} + lim_{x \to 8} x^{3})$

Schritt 7

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (2 - 6 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} x^{3})$

Schritt 8

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (2 - 6 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x^{3})$

Schritt 9

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (2 - 6 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + {(lim_{x \to 8} x)}^{3})$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$(1 + \sqrt[3]{8}) \cdot (2 - 6 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + {(lim_{x \to 8} x)}^{3})$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$(1 + \sqrt[3]{8}) \cdot (2 - 6 \cdot 8^{2} + {(lim_{x \to 8} x)}^{3})$

Schritt 10.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$(1 + \sqrt[3]{8}) \cdot (2 - 6 \cdot 8^{2} + 8^{3})$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$(1 + \sqrt[3]{2^{3}}) \cdot (2 - 6 \cdot 8^{2} + 8^{3})$

Schritt 11.1.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$(1 + 2) \cdot (2 - 6 \cdot 8^{2} + 8^{3})$

Schritt 11.2

Addiere $1$ und $2$ .

$3 \cdot (2 - 6 \cdot 8^{2} + 8^{3})$

Schritt 11.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.3.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$3 \cdot (2 - 6 \cdot 64 + 8^{3})$

Schritt 11.3.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $64$ .

$3 \cdot (2 - 384 + 8^{3})$

Schritt 11.3.3

Potenziere $8$ mit $3$ .

$3 \cdot (2 - 384 + 512)$

Schritt 11.4

Subtrahiere $384$ von $2$ .

$3 \cdot (- 382 + 512)$

Schritt 11.5

Addiere $- 382$ und $512$ .

$3 \cdot 130$

Schritt 11.6

Mutltipliziere $3$ mit $130$ .

$390$