Analysis Beispiele

$lim_{h \to 0} \frac{{(- 7 + h)}^{2} - 49}{h}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{h \to 0} {(- 7 + h)}^{2} - 49}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{h \to 0} {(- 7 + h)}^{2} - lim_{h \to 0} 49}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(- 7 + h)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{h \to 0} - 7 + h)}^{2} - lim_{h \to 0} 49}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{{(- lim_{h \to 0} 7 + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 49}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.1.4

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{{(- 1 \cdot 7 + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 49}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.1.5

Berechne den Grenzwert von $49$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{{(- 1 \cdot 7 + lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 49}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{{(- 1 \cdot 7 + 0)}^{2} - 1 \cdot 49}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{{(- 7 + 0)}^{2} - 1 \cdot 49}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Addiere $- 7$ und $0$ .

$\frac{{(- 7)}^{2} - 1 \cdot 49}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Potenziere $- 7$ mit $2$ .

$\frac{49 - 1 \cdot 49}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $49$ .

$\frac{49 - 49}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $49$ von $49$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{h \to 0} \frac{{(- 7 + h)}^{2} - 49}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(- 7 + h)}^{2} - 49]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(- 7 + h)}^{2} - 49]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.2

Schreibe ${(- 7 + h)}^{2}$ als $(- 7 + h) (- 7 + h)$ um.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(- 7 + h) (- 7 + h) - 49]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3

Multipliziere $(- 7 + h) (- 7 + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [- 7 (- 7 + h) + h (- 7 + h) - 49]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [- 7 \cdot - 7 - 7 h + h (- 7 + h) - 49]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [- 7 \cdot - 7 - 7 h + h \cdot - 7 + h \cdot h - 49]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.4.1.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 7$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [49 - 7 h + h \cdot - 7 + h \cdot h - 49]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.4.1.2

Bringe $- 7$ auf die linke Seite von $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [49 - 7 h - 7 \cdot h + h \cdot h - 49]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.4.1.3

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [49 - 7 h - 7 h + h^{2} - 49]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.4.2

Subtrahiere $7 h$ von $- 7 h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [49 - 14 h + h^{2} - 49]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $49 - 14 h + h^{2} - 49$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [49] + \frac{d}{d h} [- 14 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 49]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [49] + \frac{d}{d h} [- 14 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 49]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.6

Da $49$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $49$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- 14 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 49]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.7

Berechne $\frac{d}{d h} [- 14 h]$ .

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Schritt 1.3.7.1

Da $- 14$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $- 14 h$ nach $h$ gleich $- 14 \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 14 \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 49]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 14 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 49]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.7.3

Mutltipliziere $- 14$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 14 + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 49]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 14 + 2 h + \frac{d}{d h} [- 49]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.9

Da $- 49$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $- 49$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 14 + 2 h + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.10

Vereinfache.

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Schritt 1.3.10.1

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.10.1.1

Subtrahiere $14$ von $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 14 + 2 h + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.10.1.2

Addiere $- 14 + 2 h$ und $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 14 + 2 h}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.10.2

Stelle die Terme um.

$lim_{h \to 0} \frac{2 h - 14}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 h - 14}{1}$

Schritt 1.4

Dividiere $2 h - 14$ durch $1$ .

$lim_{h \to 0} 2 h - 14$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$lim_{h \to 0} 2 h - lim_{h \to 0} 14$

Schritt 2.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$2 lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 14$

Schritt 2.3

Berechne den Grenzwert von $14$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$2 lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 14$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$2 \cdot 0 - 1 \cdot 14$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$0 - 1 \cdot 14$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $14$ .

$0 - 14$

Schritt 4.2

Subtrahiere $14$ von $0$ .

$- 14$