Analysis Beispiele

$lim_{h \to 0} \frac{5 {(x + h)}^{3} - (5 x^{3})}{h}$

Schritt 1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 {(x + h)}^{3} - 5 x^{3}}{h}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{h \to 0} 5 {(x + h)}^{3} - 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{h \to 0} 5 {(x + h)}^{3} - lim_{h \to 0} 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.1.2

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{5 lim_{h \to 0} {(x + h)}^{3} - lim_{h \to 0} 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.1.3

Ziehe den Exponenten $3$ von ${(x + h)}^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{5 {(lim_{h \to 0} x + h)}^{3} - lim_{h \to 0} 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.1.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{5 {(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{3} - lim_{h \to 0} 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.1.5

Berechne den Grenzwert von $x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{5 {(x + lim_{h \to 0} h)}^{3} - lim_{h \to 0} 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.1.6

Berechne den Grenzwert von $5 x^{3}$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{5 {(x + lim_{h \to 0} h)}^{3} - 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{5 {(x + 0)}^{3} - 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $5 {(x + 0)}^{3} - 5 x^{3}$ .

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Schritt 2.1.2.3.1

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{5 x^{3} - 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.3.2

Subtrahiere $5 x^{3}$ von $5 x^{3}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{h \to 0} \frac{5 {(x + h)}^{3} - 5 x^{3}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 {(x + h)}^{3} - 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 {(x + h)}^{3} - 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 {(x + h)}^{3} - 5 x^{3}$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [5 {(x + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 {(x + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.3

Berechne $\frac{d}{d h} [5 {(x + h)}^{3}]$ .

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Schritt 2.3.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $5 {(x + h)}^{3}$ nach $h$ gleich $5 \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ ist $f' (g (h)) g' (h)$ , mit $f (h) = h^{3}$ und $g (h) = x + h$ .

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Schritt 2.3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d h} [x + h]) + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (3 u^{2} \frac{d}{d h} [x + h]) + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (3 {(x + h)}^{2} \frac{d}{d h} [x + h]) + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + h$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (3 {(x + h)}^{2} (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.3.4

Da $x$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (3 {(x + h)}^{2} (0 + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (3 {(x + h)}^{2} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.3.6

Addiere $0$ und $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (3 {(x + h)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.3.7

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (3 {(x + h)}^{2}) + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.3.8

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$lim_{h \to 0} \frac{15 {(x + h)}^{2} + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.4

Da $- 5 x^{3}$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x^{3}$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{15 {(x + h)}^{2} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.5

Addiere $15 {(x + h)}^{2}$ und $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{15 {(x + h)}^{2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{15 {(x + h)}^{2}}{1}$

Schritt 2.4

Dividiere $15 {(x + h)}^{2}$ durch $1$ .

$lim_{h \to 0} 15 {(x + h)}^{2}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Ziehe den Term $15$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$15 lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}$

Schritt 3.2

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(x + h)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$15 {(lim_{h \to 0} x + h)}^{2}$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$15 {(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Schritt 3.4

Berechne den Grenzwert von $x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$15 {(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$15 {(x + 0)}^{2}$

Schritt 5

Addiere $x$ und $0$ .

$15 x^{2}$